Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 311
Definition 68 Eine quadratische Matrix A = a ij heißt symmetrisch, wenn für alle i und j
gilt: a ij = a ji . Sie heißt schief-symmetrisch, wenn für alle i und j mit i ≠ j gilt a ij = −a ji .
Verständnisfrage 16 Ist die Einschränkung a ij = −a ji in der Definition erforderlich?
Transponierte
§ 1152 Man kann sich eine Matrix aus Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bestehend vorstellen.
Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen- oder Spaltenvektoren ist der Rang der Matrix.
Auch bei nicht-quadratischen Matrizen ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen
oder Spalten gleich, d.h. es ist nicht notwendig, separat einen Zeilen- und einen Spaltenrang
einzuführen.
Verständnisfrage 17 Begründen sie anschaulich, warum bei nicht-quadratischen Matrizen
kein unterschiedlicher Zeilen- und Spaltenrang entsteht. Versuchen Sie einen formalen Beweis.
Definition 69 Die Transponierte A T der Matrix A, manchmal auch geschrieben A ′ , erhält
man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten:
⎛
⎞T
⎛
⎞
a 11 a 12 . . . a 1n a 11 a 21 . . . a m1
a
⎜ 21 a 22 . . . a 2n
a
⎝
.
⎟
. . .. .
⎠ = ⎜ 12 a 22 . . . a m2
⎝
.
⎟
. . .. .
⎠ .
a m1 a m2 . . . a mn a 1n a 2n . . . a nm
§ 1153 Zwischen den Elementen einer Matrix und denen ihrer Transponierten besteht der
Zusammenhang
a T ij = a ji .
Ist eine Matrix vom Typ n × m, so ist ihre Transponierte vom Typ m × n; daher geht ein
Zeilenvektor in einem Spaltenvektor über und umgekehrt. Die Transponierte einer quadratischen
Matrix ergibt sich durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen. Die Transponierte einer
Transponierten ist wieder die Ausgangsmatrix: A TT = A. Die Transposition ist linear, d.h. es
ist (A + B) T = A T + B T .
Verständnisfrage 18 Geht die Linearität auch so weit, dass (λA + µB) T = (λA) T + (µB) T =
λA T + µB T .
Definition 70 Die Spur einer Matrix A = (a ij ) ist die Summe ihrer Diagonalelemente
Sp A = ∑ i
a ii .
§ 1154 Die Spur einer Matric ist ein hilfreicher Begriff, da er gleichzeitig die Summe der Eigenwerte
einer Matrix gibt und damit als einfach zu berechnende Größe gut zur Überprüfung
der Eigenwerte verwendet werden kann.
8.2.2 Matrixaddition: Matrizen und Gruppeneigenschaften
Definition 71 Zwei Matrizen A und B vom gleichen Typ sind gleich, A = B, wenn sie in
allen ihren Elementen übereinstimmen: A = B ⇔ a ij = b ij ∀i, j.
§ 1155 Diese Definition der Gleichheit zweier Matrizen erinnert an die Definitionen der
Gleichheit von Vektoren oder komplexen Zahlen: Gleichheit muss komponentneweise überprüft
werden. In allen Fällen gilt: die saubere Definition von Gleichheit ist auch aus mathematischen
Gesichtspunkten wichtig; ohne eine saubere Definition dieses Begriffes sind die Fragen
nach dem neutralen bzw. dem inversen Element einer mathematischen Operation nicht sinnvoll.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007