Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

332 KAPITEL 8. MATRIZEN
§ 1248 Wenn man Matrix mathematisch strikt als Abbildung versteht, macht es keinen Sinn,
Materialeigenschaften, wie Trägheitsmomente oder von der Richtung abhängige Brechungsindizes,
in einer Matrix darzustellen, selbst wenn die Anordnung der Parameter denen einer
Matrix entspricht. Daher wird statt Matrix der Begriff Tensor verwendet. Ein Tensorgehorcht
jedoch den für Matrizen geltenden Rechenregeln.
8.4 Anwendungen
§ 1249 In diesem Abschnitt werden sehr unterschiedliche Anwendungen der Matrizenrechnung
vorgestellt. Diese reichen vom eher mathematischen Problem der Lösung eines Gleichungssystems
über Drehungen und allgemeinere Transformationen bis hin zur Lösung von
Systemen von Differentialgleichungen.
8.4.1 Zum Aufwärmen: lineare Gleichungssysteme
§ 1250 Die einzige Herausforderung beim Lösen eines linearen Gleichungssystem besteht in
der Bildung der inversen Matrix. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
2x 1 + 4x 2 − 3x 3 = 15
x 1 − 2x 2 + 5x 3 = −20
3x 1 + 4x 2 − x 3 = 8
oder in Matrix-Schreibweise
⎛
⎝ 2 4 −3
⎞ ⎛
1 −2 5 ⎠ ⎝ x 1
⎠ =
3 4 −1
⎞
x 2
x 3
⎛
⎝ 15
−20
8
⎞
⎠ .
§ 1251 Als erstes betrachten wir die Determinante von A:
2 4 −3
|A| =
1 −2 5
= 2(2 − 20) − 4(−1 − 15) − 3(4 + 6) = −2 .
∣ 3 4 −1 ∣
Diese ist von Null verschieden, d.h. die Matrix ist regulär und das Gleichungssystem hat eine
Lösung.
§ 1252 Also bestimmen wir die Adjunkten-Matrix
⎛
∣ −2 5
4 −1
−
∣ 1 5
3 −1 ∣ ∣ 1 −2
⎞
3 4
⎛
⎞
A adj =
−
∣ 4 −3
⎜ 4 −1 ∣ ∣ 2 −3
3 −1 ∣ −
∣ 2 4
−18 16 10
3 4
= ⎝ −8 7 4 ⎠ .
⎝
∣ 4 3
−2 5 ∣ −
∣ 2 −3
1 5 ∣ ∣ 2 4
⎟
⎠ 14 −13 −8
1 −2 ∣
Ihre Transponierte entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten:
⎛
⎞
−18 −8 14
A adjT = ⎝ 16 7 −7 ⎠ .
10 −4 −8
Die Inverse von A ergibt sich daraus durch Division durch die Determinante:
⎛
⎞ ⎛
A −1 = − 1 −18 −8 14
⎝ 16 7 −13 ⎠ = ⎝ 9 4 −7
⎞
−8 −3.5 6.5 ⎠ .
2
10 4 −8 −5 −2 4
Damit erhalten wir als Lösung des Gleichungssystems
⎛
⎝ x ⎞ ⎛
⎞ ⎛
1
x 2
⎠ = − 1 −18 −8 14
⎝ 16 7 −13 ⎠ ⎝ 15
⎞ ⎛
−20 ⎠ = ⎝ −1
⎞
2 ⎠ .
2
x 3 10 4 −8 8 −3
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode