Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

98 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
y = mx und dem Einheitskreis. Die Schnittpunkte zwischen diesen Elementen sind O, P und
Q; sie haben die Koordinaten
(
)
(
)
1
O = (0, 0) , Q = (1, 0) , P = √ , m
1
√ und R = √ , 0 .
1 + m
2 1 + m
2
1 + m
2
Zwischenrechnung 13 Falls Sie es nicht auf Anhieb sehen, machen Sie sich die Koordinaten
der einzelnen Punkte klar!
§ 395 Die gesuchte Fläche A(m) besteht aus der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ∆OP R
und der Fläche unter dem Kreisbogen zwischen P und Q. Letzteres ist ein Integral des Typs
y = √ 1 − x 2 im Bereich von x = R bis x = 1:
A(m) = 1 2
1
√
1 + m
2
∫1
m
√ + 1 + m
2
1/ √ 1+m 2 √
1 − x2 dx .
Mit der neuen Variablen M = 1/ √ 1 + m 2 lässt sich die Fläche umschreiben als
A(M) = 1 2 M √ 1 − M 2 −
∫ M
1
√
1 − x2 dx .
Vor der Integration des hinteren Terms differenzieren wir die Funktion, formulieren sie um,
und integrieren sie, so dass wir eine einfacher zu handhabende Variante erhalten. Differentiation
liefert nach einigem Umformen und Vereinfachen
dA
dM = − 1
2 √ 1 − M 2 .
Da wir die Fläche in Abhängigkeit von m und nicht von M suchen, bestimmen wir mit Hilfe
der Kettenregel
dA
dm = dA dM
dM dm = 1
2(1 + m 2 ) .
Integration dieses Ausdrucks liefert einen einfacheren Ausdruck für die Fläche A(m) und
damit den Winkel ϕ(m) zwischen den Kurven y = 0 und y = mx:
ϕ(m) ∝
∫ m
0
du
1 + u 2 .
Dieser Ausdruck ist einfach und handhabbar; die noch fehlende Propotionalitätskonstante ist
eine Frage der Konvention. Mit einer Proportionalitätskonstante von 1 ergibt sich der konventionell
verwendete Wert von π/2 für den rechten Winkel. Damit erhalten wir als Definition
des Winkels:
Definition 33 Der Winkel ϕ zwischen den Geraden y = 0 und y = mx mit m ∈ R, ist
gegeben durch das Integral
ϕ(m) =
∫ m
0
du
1 + u 2 .
§ 396 Die auf diese Weise definierte Funktion ist monoton wachsend von ϕ(−∞) bis ϕ(+∞),
die dazu gehörigen Funktionswerte sind −π/2 und +π/2.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode