Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

428 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
schreiben als
Q 1 = x lp l
r
=
⃗r · ⃗p
r
.
⃗p = (p l ) ist ein Dreiervektor. Das Dipolmoment ist die erste Korrektur zur Beschreibung des
Feldes einer Ladungsverteilung.
§ 1592 Der Koeffizient des Quadrupols
∫ 3µ 2 − 1
Q 2 =
r ′ 2 ϱ(⃗r ′ ) d 3 ⃗r ′
2
lässt sich mit Hilfe des Quadrupolmoments
∫ ( ) 3x ′ kx ′ l − δ kl r ′ 2
ϱ(⃗r ′ ) d 3 ⃗r ′
q kl = 1 2
schreiben als
Q 2 = x k q kl x l
r 2
= ⃗rT Q⃗r
r 2 .
Q = (q kl ) ist ein symmetrischer Tensor. Er liefert die nächst höhere Ordnung der Korrektur
in der Beschreibung des elektromagnetischen Feldes einer Ladungsverteilung.
§ 1593 Die Reihenentwicklung des Potentials ist damit
U(⃗r) = 1 ( )
Q ⃗r · ⃗p
+
4πε 0 r r 5 + ⃗rT Q⃗r
r 5 + . . . . (11.36)
11.5.5 Anmerkung zur Wellengleichung.
§ 1594 In relativistischer Schreibweise lässt sich auch die Wellengleichung in Form einer
Laplace Gleichung darstellen. Dazu verwenden wir den Vierervektor (vgl. Abschn. ??). Die
zu betrachtende Variable ist das Vektorpotential aus (11.4) und es gilt
□ ⃗ A = 0 bzw. □ ⃗ A = µ 0
⃗j
mit dem d’Alambert Operator in kartesischen Koordinaten als
□ = ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2 − 1 c 2 ∂ 2
∂t 2 .
11.6 Diffusion
§ 1595 Die Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung sind formal äquivalent: sie enthalten
neben der zweiten räumlichen Ableitung der Temperatur T bzw. der Teilchenzahldichte n
die zeitliche Ableitung dieser Felder multipliziert mit einem Transportkoeffizienten. Beide
Gleichungen sind Beispiele für Transportgleichungen.
11.6.1 Diffusionsgleichung
§ 1596 Die Herleitung einer partiellen Differentialgleichung vom Typ einer Transportgleichung
lässt sich am Beispiel der Diffusionsgleichung veranschaulichen. Diffusion ist ein in
vielen Bereichen der Physik auftretender Transportprozess, z.B. bei der Wärmeleitung oder
bei der Ausbreitung eines Stoffes in einem kontinuierlichem Medium (z.B. Schadstoff in Wasser
oder Luft). Diffusion ist ein stochastischer Prozess: bei der Wärmeleitung hängt der
Transport vom Energieübertrag in der zufälligen thermischen Bewegung der Stoffbestandteile
ab, bei der Ausbreitung eines Stoffes in einem kontinuierlichen Medium von den Kollisionen
zwischen den Molekülen des Stoffes und denen des Mediums, ebenfalls bestimmt durch deren
zufällige thermische Bewegung.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode