Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.3. EULER FORMEL 207
Darstellung von Wechselgrößen
§ 804 Interessanter wird es, wenn wir bei der Wechselspannung eine Phasenverschiebung
α zulassen, d.h. u(t) = U 0 cos(ωt + α). Eine derartige Phasenverschiebung erhalten wir bei
der Lösung des harmonischen Oszillators, da sich diese als Überlagerung von Sinus- und
Kosinusterm darstellen lässt (siehe Abschn. 7.5.1):
u(t) = U 1 sin(ωt) + U 2 cos(ωt) . (6.11)
Ersetzen der konstanten Amplituden durch U 1 = −U 0 sin α und U 2 = U 0 cos α mit U 0 =
√
U
2
1 + U 2 2 und α = − arctan(U 1/U 2 ) liefert
u(t) = U 0 (cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α)) = U 0 cos(ωt + α) .
Das dabei im letzten Schritt verwendete Additionstheorem
cos(β + γ) = cos β cos γ − sin β sin γ (6.12)
können sie in Aufgabe 70 beweisen. Die Phasenverschiebung ist das Verhältnis der beiden
Spannungen U 1 und U 2 bestimmt. Verschwindet U 1 , so ist auch die Phasenverschiebung Null,
verschwindet U 2 , so wird die Phasenverschiebung −π/2.
§ 805 Die Phasen verschobene Wechselspannung u(t) = U 0 cos(ωt + α) lässt sich mit Hilfe
der Euler-Formel (6.8) schreiben als
u c (t) = U c e iωt
mit U c als eine konstanten aber komplexen Amplitude U c = U c,1 + iU c,2 . Die Phasenverschiebung
α hat sich in dieser komplexen Amplitude versteckt, wie durch Ausmultiplizieren zu
erkennen ist:
u c (t) = U c e iωt = (U c,1 + iU c,2 ) (cos(ωt) + i sin(ωt))
= U c,1 cos(ωt) + U c,1 i sin(ωt) + iU c,2 cos(ωt) + iU c,2 i sin(ωt)
= U c,1 cos(ωt) − U c,2 sin(ωt) + i (U c,1 sin(ωt) + U c,2 cos(ωt)) . (6.13)
Da nur der Realteil eine physikalische Bedeutung besitzt, lassen wir den Imaginärteil einfache
weg 5 u(t) = R(u c (t)) = U c,1 cos(ωt) − U c,2 sin(ωt)
und erhalten mit U 2 = U c,1 und U 1 = −U c,2 wieder den Ausdruck (6.11).
§ 806 Auch vektorielle Größen, wie das elektrische Feld in einer elektromagnetischen Welle,
lassen sich auf diese Weise darstellen:
⃗E(⃗r, t) = ⃗ E 0 e ±i(ωt−⃗ k·⃗r)
mit ⃗ k als dem Wellenvektor.
Reihenschaltung Widerstand und Kondensator
§ 807 Bisher ist das nur Manipulation der Darstellung. Welche Vorteile ergeben sich daraus?
Ein einfaches Beispiel ist der Wechselstromkreis. Die Bauteile Widerstand, Kondensator
und Spule sind durch die Bauteilparameter Widerstand R, Kapazität C und Induktivität L
charakterisiert. Diese Größen gehen auch in den jeweiligen Zusammenhang zwischen Strom
i und Spannung u ein:
u = R i ,
u = L di
dt = L ˙i und i = C du = C ˙u . (6.14)
dt
5 Das lässt sich mathematisch schwer sauber aufschreiben. In 6.13 ist u(t) noch eine komplexe Größe, in
der folgenden Gleichung und in (6.11) dagegen eine reelle. Da die komplexe Schreibweise bei physikalischen
Problemen mit Wechselgrößen üblich ist, verwendet man keine unterschiedlichen Symbole für komplexe und
reelle Größen sondern geht davon aus, dass alle Größen in der Rechnung zwar komplex sein können, als
physikalisch interpretierbare Größen jedoch auf ihren Realteil zurecht gestutzt werden.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007