Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.4. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 95
§ 385 An dieser Stelle greifen wir zu einem Trick, der uns in der Mathematik (und auch in
diesem Skript) noch häufiger begegnen wird: wir definieren die gesuchte Funktion ln über ein
Integral
ln(x) =
∫ x
1
1
du . (3.4)
u
Die Funktionswerte der Funktion ln(x) werden also derart bestimmt, dass für jeden Funktionswert
x das bestimmte Integral der Funktion u −1 im Intervall [1, x] gebildet wird; die
obere Integrationsgrenze x des Integrals ist das Argument der Funktion ln(x).
§ 386 All wichtigen Eigenschaften der Funktion ln lassen sich aus der Definition (3.4) sowie
der Kenntnis der Eigenschaften ihrer Ableitung x −1 herleiten:
1. für x = 1 geht die Funktion durch 0, d.h. ln(1) = 0, da in diesem Fall das Integral (3.4)
im Intervall [1, 1] auszuwerten ist: die Fläche verschwindet.
2. mit einer entsprechenden Argumentation gilt
ln(x) > 0 falls x > 1
ln(x) < 0 falls 0 < x < 1 .
Da der Integrand in (3.4) positiv ist, wächst die Funktion mit zunehmendem x an, sie ist
also streng monoton steigend.
3. aus der Ableitung x −1 entnehmen wir, dass die Steigung mit zunehmendem x immer
geringer wird. Gleichzeitig sehen wir auch, dass die Steigung für x → 0 immer größer
wird, d.h. ln(x) → −∞ für x → 0.
4. die Ableitung von ln(ax) mit a = const unterscheidet sich von der von ln(x) nur um
einen konstanten Faktor (Kettenregel), d.h. ln(ax) = ln x + c. Für x = 1 ergibt sich für
die Konstante ln a und damit die Multiplikationsregel für Logarithmen:
ln(ab) = ln(a) + ln(b) .
Für a = b = x ergibt sich ln(x 2 ) = 2 ln x oder verallgemeinert
ln(x n ) = n ln(x) . (3.5)
5. mit ln(1) = 0 lässt sich daraus zeigen
(
0 = ln(1) = ln x · 1 )
( 1
= ln(x) + ln
x
x)
Dies lässt sich erweitern zur allgemeineren Regel
( a
)
( ) 1
ln = ln(a) + ln = ln(a) − ln(b) .
b b
oder
( 1
ln(x) = − ln .
x)
6. damit lässt sich (3.5) erweitern auf rationale Exponenten. Da der natürliche Logarithmus
eine stetige Funktion ist, also keine Lücken aufweist, ist es sinnvoll anzunehmen, dass der
Ausdruck auch auf beliebige reelle Exponenten p erweitert werden kann:
ln(x p ) = p ln(x) .
§ 387 Wir kennen jetzt viele Eigenschaften der Funktion ln, haben immer bisher nur einen
Funktionswert bestimmt, nämlich ln(1) = 0. Versuchen wir jetzt das Integral an einem allgemeineren
Punkt x auszuwerten. Nach Definition (3.4) ist
ln(1 + x) =
1+x ∫
1
1
u du .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007