Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.2. DIFFERENTIATION: DIVERGENZ UND ROTATION 381
Abbildung 10.6: Eine
nicht-verschwindende
Rotation kann durch
eine Scherung entstehen
§ 1427 Eine andere Ursache für eine nicht verschwindende Rotation ist die Scherung eines
Feldes. Betrachten wir dazu das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung in einem Fluss der
Breite 2R, in diesem Fall beschränkt auf die Strömung an der Oberfläche. Auf Grund der
Reibung verschwindet die Geschwindigkeit an den Ufern während sie in der Flussmitte maximal
ist. In einem Koordinatensystem mit der x-Achse in Richtung der Strömung erhalten
wir für das Geschwindigkeitsfeld v x = f(y). Ein derartiges Geschwindigkeitsfeld beschreibt
sicher keine starre Rotation, da ein Flüssigkeitselement nicht wieder an seinen Ausgangspunkt
zurückkehren kann. Für das Geschwindigkeitsprofil nehmen wir entsprechend Hagen-
Poiseuille ein parabolisches Profil v x = v 0 (R 2 −y 2 ) an. Mit (10.9) erhalten wir für die Rotation
dieses Feldes
⎛
∇ × ⃗v = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ ×
∂/∂z
⎝ v 0(R 2 − y 2 )
0
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 0 0
v 0 2y
d.h. das Feld ist nicht wirbelfrei, obwohl wir oben bereits festgestellt haben, dass es keine
Wirbel im anschaulichen Sinn enthält.
§ 1428 Eine Interpretation der Rotation, die diesen scheinbaren Widerspruch auflöst, wird in
Abschn. 10.4.2 gegeben; eine anschauliche Interpretation können wir mit Hilfe von Abb. 10.6
finden: eine aufrecht im Wasser treibende Tonne wird auf ihrer der Flussmitte zugewandten
Seite mit einer größeren Strömungsgeschwindigkeit mitgeführt als auf der dem Ufer zugewandten
Seite. Daher beginnt die Tonne zu rotieren, wie in der Abbildung angedeutet. Die
Richtung des Rotationsvektors ⃗ω entspricht ∇ × ⃗v, sein Betrag ist durch den Gradienten des
Geschwindigkeitsfeldes gegeben. Für das obige Beispiel ist das sinnvoll: die Rotation hat nur
eine z-Komponente, d.h. sie steht senkrecht auf der Wasseroberfläche, so dass die eigentliche
Drehbewegung der Tonne in der Ebene der Wasseroberfläche erfolgt.
§ 1429 Berücksichtigen wir zusätzlich, dass auch am Flussboden Reibung herrscht, so hat die
Geschwindigkeit zwar weiterhin nur eine x-Kompenente, diese nimmt aber mit der Wassertiefe
z ab: v x = v 0 (R 2 − y 2 − z 2 ). Die Rotation dieses Feldes ist dann
⎛
∇ × ⃗v = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ ×
∂/∂z
⎝ v 0(R 2 − y 2 − z 2 )
0
0
⎞
⎠ =
⎞
⎠ ,
⎛
⎝ 0
2v 0 z
v 0 2y
Die z-Komponente der Rotation ist bereits aus § 1427 bekannt, die y-Komponente beschreibt
eine weitere Rotation um eben diese y-Achse: das Fass rotiert nicht nur in der Ebene der
Flussoberfläche sondern schlägt dabei auch noch Purzelbäume um eine Achse senkrecht zum
Fluss.
10.2.5 Nabla Operator zusammen gefasst
§ 1430 Der Nabla-Operator
⎛
∇ = ⎝ ∂/∂x
⎞
∂/∂y ⎠
∂/∂z
⎞
⎠ ,
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007