Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 10
Vektoranalysis
I’ve gotten a rock, I’ve gotten a reel,
I’ve gotten a wee bit spinning-wheel;
An’ by the whirling rim I’ve found
How the weary. weary warl goes round.
S. Blamaire
§ 1372 In diesem Kapitel greifen wir die Themen Differentiation (Kap. 4) und Integration
(Kap. 5) wieder auf, jetzt jedoch nicht angewandt auf skalare Funktionen einer oder mehrerer
Variablen sondern auf Vektorfelder. Dabei werden wir auf die Definition von Feldern und
grundlegenden Feldgeometrien in Abschn. 4.4.1 zurück greifen.
§ 1373 Die Anwendung des ebenfalls bereits aus Abschn. 4.4.1 bekannten Nabla Operators
auf Vektorfelder führt auf die Divergenz eines Feldes als Maß für dessen Quellstärke und
auf die Rotation als ein Maß für die Wirbelhaftigkeit des Feldes. Da der Nabla Operator
die partiellen Ableitungen nach den drei Raumkoordinaten enthält, werden beide Größen
rechtechnisch durch die Differentiation des Feldes bestimmt.
§ 1374 Das bereits in § 122 im Zusammenhang mit der Arbeit eingführte Linienintegral
werden wir in diesem Kapitel ebenfalls genauer betrachten, ebenso wie dass zur Bestimmung
des Flusses einer physikalischen Größe durch eine Fläche wichtige (Ober-)Flächenintegral.
Die Verknüpfung zwischen den differentiellen Größen und diesen Integralen erfolgt durch
die Integralsätze von Gauß und Stokes. Die vorgestellten Anwendungen werden insbesondere
elektromagnetische Felder betreffen sowie die Formulierung der Maxwell Gleichungen. Aber
auch auf die durch die Anwendung der Integralsätze mögliche Vereinfachung von Berechnungen
von Flüssen und Linienintegralen wird hingewiesen.
§ 1375 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie, unter Verwendung
der in Abschn. 4.4.3 vorweg genommenen Aspekte der Vektoranalysis, in der Lage
sein
• Geometrien typischer Skalar- und Vektorfelder darzustellen und physikalische Beispiele für
diese zu geben,
• den Laplace Operator in verschiedenen Koordinantensystemen auf diese Felder anzuwenden,
• die Begriffe Gradient, Rotation und Divergenz mathematisch und anschaulich zu erläutern,
• Kurven- und Oberflächenintegrale zu bestimmen und physikalische Anwendungsbeispiele
dafür zu geben,
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