Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

162 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Aufgabe 61 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung:
(a) f(x, y) = (3x − 5y) 4
(c) f(x, y) = x2 −y 2
x+y
(e) f(x, y) = √ x 2 − 2xy
(
(g) f(x, y) = z(x, y) = arctan
x
y
)
(b) f(x, y) = 2 cos(3xy)
(d) f(r, ϕ) = 3r e rϕ
(
(f) f(x, y) = e −x+y + ln
(h) f(x, y) = ln √ x 2 + y 2
(i) u(x, t) = x−2t
2x+t
(j) z(t, ϕ) = sin(αt + ϕ)
Aufgabe 62 Bilden Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen:
f(x, y) = sin 2 (ax) e by + y 3
g(x, y) = xy 2 + 4x 5 y + 16x + cos x
h(x, y, z) = 2 cos(3xy) e −xz .
Aufgabe 63 Bilden Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion
f(x, y) = xy 2 + 4x 5 y + 16x + 27. Vergleichen Sie die gemischten Ableitungen zweiter
Ordnung!
Aufgabe 64 Skizzieren Sie den Verlauf der folgenden Funktionen. Bestimmen Sie die ersten
Ableitungen sowie den Gradienten ⃗g (maximale Steigung) als den aus den ersten Ableitungen
gebildeten Vektor ⃗g = ( ∂f
∂x , ∂f
∂y , ∂f
∂z ):
√
a 2 −x 2
a 2 +x 2
√
ln 2y−3
2y+3
f(x, y) = x 2 − 4y 3 , g(x, y) =
h(x, y, z) = 2x−y
x+2y e−xyz , i(x, y, z)=ln √ (
x 2 + y 2 + z 2 − arctan
Aufgabe 65 Skizzieren Sie den Verlauf der folgenden Funktionen. Bestimmen Sie die ersten
Ableitungen sowie den Gradienten ⃗g (maximale Steigung) als den aus den ersten Ableitungen
gebildeten Vektor ⃗g = ( ∂f
∂x , ∂f
∂y , ∂f
∂z ):
√
a 2 −x 2
a 2 +x 2
√
ln 2y−3
2y+3
f(x, y) = x 2 − 4y 3 , g(x, y) =
h(x, y, z) = 2x−y
x+2y e−xyz , i(x, y, z)=ln √ (
x 2 + y 2 + z 2 − arctan
Mathematische Probleme
Aufgabe 66 Leiten Sie die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten aus (4.14) ab und vergleichen
Sie mit (1.2).
Physikalische Anwendungen
Aufgabe 67 Leiten Sie die folgenden, bereits aus Aufgabe 49 bekannten, in Parameterform
dargestellten Funktionen ab:
(a) Epizykloide (Kurve, die von einem Perepheriepunkt eines Kreises mit Radius a beschrieben
wird, wenn dieser auf der Außenseite eines anderen Kreises mit Radius A abrollt):
x = (A + a) cos ϕ − a cos[(A + a)ϕ/a] und y = (A + a) sin ϕ − a sin[(A + a)ϕ/a],
(b) Kardioide (Spezialfall der Epizykloide für A = a): x = 2a cos ϕ − a cos 2ϕ und y =
2a sin ϕ − a sin 2ϕ,
(c) x = √ t, y = √ t + 1 mit t ≥ 0,
(d) Astroide (Kurve, die von einem Perepheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn
dieser auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt): x = cos 3 ϕ, y = sin 3 ϕ,
(e) Zykloide bzw. Trochoide (Kurve, die von einem Punkt beschrieben wird, der außerhalb
(λ > 0) oder innerhalb (λ < 0) eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehendem
und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis, ohne zu gleiten, auf
einer Graden abrollt): x = a(t − λ sin t) und y = a(1 − λ sin t),
(f) Pascal’sche Schnecke: x = a cos 2 ϕ + l cos ϕ und y = a cos ϕ sin ϕ + l sin ϕ,
x
y
)
x
y−z
x
y−z
)
.
)
.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode