Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.4. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 137
Verallgemeinerung: Funktionen von n unabhängigen Variablen
§ 533 Für Funktionen f(x 1 , . . . , x n ) von n unabhängigen Variablen lassen sich entsprechend
der obigen Definition n verschiedene partielle Ableitungen nach einer der Unabhängigen x k
bilden, wobei alle anderen x l mit l = 1, . . . n ∧ l ≠ k konstant gehalten werden:
∂f(x 1 , . . . , x n )
f(x 1 , . . . , x k−1 , x k + ∆x k , x k+1 , . . . , x n ) − f(x 1 , . . . , x n )
= f xk = lim
.
∂x k ∆x k →0
∆x k
§ 534 In Anlehnung an Definitionen 41 und 42 lässt sich der Begriff der partiellen Differenzierbarkeit
einführen:
Definition 44 Eine Funktion f(x 1 , . . . , x n ) heißt partiell differenzierbar nach x k in [a, b],
wenn für jedes x k ∈ (a, b) rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten
f(x 1 , . . . , x k−1 , x k + ∆x k , x k+1 , . . . , x n ) − f(x 1 , . . . , x n )
lim
∆x k →0
∆x k
existieren und identisch sind.
§ 535 Die obige Definition gilt für die partielle Differenzierbarkeit nach einer der Variablen
x k . Die Funktion ist partiell differenzierbar, wenn sie für alle k ∈ {1, . . . , n} nach x k partiell
differenzierbar ist.
§ 536 Der Begriff ‘stetig differenzierbar’ aus Def. 43 lässt sich entsprechend übertragen: die
Funktion muss nicht nur nach allen Variablen partiell differenzierbar sein sondern alle diese
Ableitungen müssen stetig sein.
Rechenregeln und höhere Ableitungen
§ 537 Die partielle Ableitung wird nach den gleichen Regeln gebildet wie die normale Ableitung,
d.h. es gelten die Rechenregeln der Differentiation – die haben wir in Abschn. 4.3
bereits wiederholt.
§ 538 Höhere Ableitungen lassen sich wie bei Funktionen einer Variablen rekursiv definieren
– natürlich stets unter der Voraussetzung, dass die jeweils niedrigere Ableitung auch differenzierbar
ist. So können wir die partielle Ableitung der Funktion f(x 1 , . . . , x n ) nach x k nach
jeder der unabhängigen Variablen x l erneut ableiten:
( )
∂ ∂f
= ∂2
.
∂x l ∂x k ∂x l ∂x k
Dabei entstehen für k = l zweite Ableitungen der Art, wie wir sie auch als Ableitungen einer
Funktion einer Variablen kennen:
f xk x k
= ∂2
∂x 2 f(x 1 , . . . , x n ) .
k
Für k ≠ i entstehen gemischte Ableitungen:
f xix k
= ∂2
∂x i ∂x k
f(x 1 , . . . , x n ) .
Die Notation ist derart, dass bei der jeweils rechts verwendeten Schreibweise die Differentiation
in umgekehrter Reihenfolge, d.h. von rechts nach links erfolgt.
§ 539 Für eine Funktion f(x, y) erhalten wir also die folgenden vier Ableitungen zweiter
Ordnung:
f xx = ∂ ( ) ∂f
= ∂2 f
∂x ∂x ∂x 2 , f xy = ∂ ( ) ∂f
= ∂2 f
∂y ∂x ∂x ∂y ,
f yx = ∂ ( ) ∂f
= ∂2 f
∂x ∂y ∂y ∂x , f yy = ∂ ( ) ∂f
= ∂2 f
∂y ∂y ∂y 2 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007