Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

342 KAPITEL 8. MATRIZEN
Die Eigenwerte und -vektoren sind bestimmt durch
2/3 − λ −1/4 −1/4
|I − IE| =
−1/4 2/3 − λ −1/4
!
= 0 .
∣ −1/4 −1/4 2/3 − λ ∣
Daraus ergeben sich die Eigenwerte λ 1 = 1/6 und λ 2,3 = 11/12. Aus diesen ergeben sich die
Trägheitsmomente um die Hauptachsen als
8.4.4 Systeme gekoppelter Differentialgleichungen
§ 1287 Ein System gekoppelter gewöhnlicher Differentialgleichung besteht aus eben diesen
Differentialgleichungen. Da diese gekoppelt sind, können sie nicht einzeln mit den in Kap. 7
beschriebenen Strategien gelöst werden, sondern müssen gleichzeitig gelöst werden.
§ 1288 Mathematisch gesehene sind Systeme linearer Differentialgleichungen Beispiele für
Eigenwertprobleme. Die Eigenwerte geben dabei die Skalierung der entsprechenden Basen, in
diesem Fall der Lösungsfunktionen. Beispiele sind Zerfallsketten beim radioaktiven Zerfall,
Ströme in elektrischen Netzwerken oder gekoppelte Pendel.
§ 1289 Ein System gekoppelter Differentialgleichungen besteht aus einem Satz von n Differentialgleichungen,
die jeweils die Ableitung einer gesuchten Funktion x n enthalten. Diese
hängt nicht nur von der gesuchten Funktion ab sondern auch von einer oder mehreren der
anderen Funktionen. Damit erhalten wir ein Gleichungssystem der Form
ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n ,
ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n ,
. .
.
ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + . . . + a nn x n ,
oder in Matrixschreibweise
˙⃗x = A⃗x .
(8.30)
§ 1290 Ein derartiges Gleichungssystem lässt sich mit dem auch bei einer einzelnen DGL
verwendeten Exponentialansatz lösen:
⃗x(t) = ⃗ue λt und damit ˙⃗x(t) = λ⃗u e λt . (8.31)
Einsetzen des Ansatz in das System aus gekoppelten Differentialgleichungen liefert die charakteristische
Gleichung:
λ⃗u = A⃗u ,
d.h. eine Gleichung der Form (8.8), die Eigenwerte und -vektoren definiert. Die Exponenten
λ im Exponentialansatz sind damit die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix des Differentialgleichungssystems,
die Vektoren ⃗u die zu diesen gehörigen Eigenvektoren. Die Lösung des
Differentialgleichungssystems ist die Superposition der verschiedenen Exponentialfunktionen
n∑
⃗x = c i ⃗u i e λit .
i=1
Radioaktiver Zerfall
§ 1291 Den Einstieg in dieses Thema liefert, wie bereits bei der gewöhnlichen Differentialgleichung
erster Ordnung, das Beispiel des radioaktiven Zerfalls. Die DGL hat die Form
Ṅ = −λN und beschreibt die Änderung der Zahl N der vorhandenen radioaktiven Kerne.
Das ist gleichzeitig auch die Rate, mit der die Zerfallsprodukte erzeugt werden und kann
damit zur Bestimmung der Strahlenbelastung durch dieses zerfallende Präparat verwendet
werden. Für die Strahlenbelastung gilt allerdings eine Einschränkung: das beim Zerfall entstehende
Nuklid muss stabil sein. Zerfällt es ebenfalls, so tragen die dabei entstehenden
Zerfallsprodukte ebenfalls zur Strahlenbelastung bei.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode