Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

448 KAPITEL 12. STATISTIK
Abbildung 12.5: Binominalverteilungen
für n = 10 und p = 0.5 bzw. p = 0.3
§ 1671 Die Binominalverteilung ist normiert, d.h. es ist
n∑
n∑
( )
n
n∑
( )
p n (k) = p k q n−k n
= p k (1 − p) n−k = 1 .
k k
k=0
k=0
k=0
Der Mittelwert der Binominalverteilung ist
µ = pn ,
ihre Varianz
σ 2 = npq = np(1 − p)
und ihre Standardabweichung
σ = √ 1(1 − p)n .
§ 1672 Abbildung 12.5 zeigt zwei Binominalverteilungen für n = 10 und p = 0.5 sowie
p = 0.3. Aufgrund der Symmetrie der Binominalkoeffizienten ergibt sich für p = q = 0.5
eine symmetrische Verteilung; je weiter sich p von 0.5 entfernt, um so schiefer wird die
Verteilung, da die Wahrscheinlichkeit, viele Versuchsausgänge mit dem Ereignis mit geringer
Wahrscheinlichkeit zu erhalten, entsprechend klein ist.
§ 1673 Für große n lässt sich die Binominalverteilung näherungsweise durch eine Normalverteilung
ersetzen. Diese Annäherung ist in der Regel für np > 4 und n(1 − p) > 4 sinnvoll.
Falls eine Annäherung durch eine Normalverteilung noch nicht sinnvoll ist, lässt sich die
Binominalverteilung (12.7) mit Hilfe einer Rekursionsformel berechnen:
f(x + 1) = n − x
x + 1
p
q f(x)
§ 1674 Ein Würfel wird 360 mal geworfen. Der Erwartungswert für die Häufigkeit des Auftretens
der 3 ist mit p = 1 6
und n = 360 gleich µ = np = 60. Die Varianz ergibt sich mit
q = 5 6 zu σ2 = npq = 50, die Standardabweichung zu √ σ 2 = 7.1. Die Wahrscheinlichkeit, bei
der Durchführung des Experiments genau den Erwartungswert 60 zu erhalten, beträgt nur
( ) ( ) 60 ( ) 300
360 1 5
f(60) = P (X = 60) =
≈ 0.056 ,
60 6 6
d.h. knapp 6%. Die Wahrscheinlichkeit, dass die 3 bei 360 Würfen zwischen 53 und 67 mal
auftritt, ergibt sich zu
67∑
( ) ( ) x ( ) 360−x
360 1 5
P (53 ≤ X ≤ 67) =
≈ 0.69 .
x 6 6
x=63
Für diese großen Zahlen geht die Binominalverteilung in eine Normalverteilung über. Dann
liegen im Bereich µ ± σ 68.3% der Messwerte bzw. im Bereich µ ± 2σ 95.5%. Mit der oben
bestimmten Standardabweichung erwarten wir in 68.3% der Experimente einen Versuchsausgang
im Bereich von 53 bis 67.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode