Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.3. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 235
Separation der Variablen
§ 910 Für homogene DGLs erster Ordnung ist das Standardlösungsverfahren die Trennung
bzw. Separation der Variablen. Dazu werden alle Terme mit t auf die eine Seite der Gleichung
gebracht, alle Terme mit x auf die andere. Um das Verfahren einfach darzustellen, setzen wir
b = 0 und diskutieren später die Modifikation der Lösung, die sich für b ≠ 0 ergibt.
§ 911 Die einzelnen Schritte des Verfahrens zur Lösung der linearen homogenen DGL erster
Ordnung der Form
sind:
ẋ(t) = a(t) x(t) (7.4)
1. die Trennung/Separation der Variablen:
ẋ(t) = a(t)x(t) ⇒ a(t) x = dx
dt
⇒ a(t) dt = dx x .
2. die Integration der beiden Seiten der Gleichung
∫ ∫ ∫
dx
a(t) dt =
⇒ a(t) dt = ln x + c 1 . (7.5)
x
3. Auflösen nach x liefert die allgemeine Lösung der DGL:
{∫ }
{∫
exp a(t) dt = x c 2 ⇒ x = c exp
}
a(t)dt . (7.6)
4. die anschließenden Schritte hängen davon ab, ob die homogene DGL für sich gelöst werden
soll oder als erster Schritt der Lösung einer inhomogenen DGL:
(a) ist nur die allgemeine Lösung der homogenen DGL gesucht, entfällt dieser Schritt,
d.h. es ist nach Schritt 3 Schluss.
(b) ist eine spezielle Lösung der homogenen DGL für eine gegebene Anfangs- bzw. Randbedingung
gesucht, so wird die Integrationskonstante aus den Anfangsbedingungen
bestimmt.
(c) wurde die homogene DGL als erster Schritt der Lösung der inhomogenen DGL gelöst,
so folgt jetzt die Suche nach einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL (siehe
Abschn. 7.3.2) und anschließend die Bestimmung der Integrationskonstante aus der
Anfangs- bzw. Randbedingung.
Das Integral in (7.5) ist einfach lösbar falls der Koeffizient a eine Konstante ist: ∫ adt =
at. Damit wird die allgemeine Lösung der linearen homogenen DGL erster Ordnung mit
konstantem Koeffizienten x = c e at . Mit der Anfangsbedingung x(0) = x 0 ergibt sich als
spezielle Lösung x = x 0 e at . Diese formale Situation ist z.B. beim Zerfallsgesetz (7.1) gegeben.
Zwischenrechnung 26 Was passiert mit der Lösung, wenn die Anfangsbedingung nicht
x(0) = x 0 lautet sondern x(t 0 ) = x 0 mit t 0 ≠ 0?
§ 912 Ist die Ausgangsdifferentialgleichung homogen und ist die Anfangsbedingung bekannt,
so kann in Schritt 2 statt des unbestimmten auch das bestimmte Integral gebildet werden.
Dabei sind die unteren Integrationsgrenzen jeweils durch die Anfangsbedingung gegeben, die
oberen Grenzen sind die abhängige und die unabhängige Variable:
∫ t
t 0
a(t) dt =
∫ x
x 0
dx
x
⇒ ln x ∫
=
x 0
Auf diese Weise entfällt die Integrationskonstante.
t 0
ta(t) dt ⇒ x = x 0 e
R
t 0
ta(t) dt
.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007