Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

322 KAPITEL 8. MATRIZEN
§ 1201 Die Adjunkten-Matrix U ist eine aus den Unterdeterminanten der Matrix A gebildete
Matrix. Im Falle einer 3 × 3-Matrix ergibt sich U als
⎛
U = ⎝ D ⎞
11 −D 12 D 13
−D 21 D 22 −D 23
⎠ ,
D 31 −D 32 D 33
bzw. für allgemeine i × j Matrizen: u ij = (−1) i+j D ij mit den D ij als den Unterdeterminanten
von |A|.
§ 1202 Auf besonders einfache Weise bestimmt sich die Inverse bei einer orthogonalen Matrix:
bei einer orthogonalen Matrix ist das Inverse gleich der Transponierten.
Verständnisfrage 23 Begründen Sie diesen Zusammenhang formal!
8.2.7 Komplexe Matrizen
§ 1203 Definition 67 hat bereits komplexe Matrizelemente zugelassen. Alle bisher betrachteten
Rechenregeln gelten für reelle wie komplexe Matrizen – lediglich müssen wir bei komplexen
Matrixelementen die Regeln für den Umgang mit komplexen Zahlen beachten. Dieser
Abschnitt enthält daher kaum neue Rechentechnik sondern dient hauptsächlich dazu, einige
Begriffe einzuführen, die in der Quantenmechanik um Zusammenhang mit komplexen Matrizen
benötigt werden.
Definition 80 Eine Matrix A wird als komplex bezeichnet, wenn ihre Matrixelemente a ij
komplexe Zahlen sind: A = (a ij ) = (b ij + ic ij ).
§ 1204 Eine komplexe Matrix vom Typ m × n mit den Matrixelementen a ij = b ij + ic ij
lässt sich in der Form A = B + iC darstellen mit den reellen Matrizen B und C als Real- und
Imaginärteil.
§ 1205 Wird in einer komplexen Matrix A jedes Matrixelement a ij durch sein konjugiert
komplexes Element a ∗ ij ersetzt, so erhält man die konjugiert komplexe Matrix A∗ . Wird eine
komplexe Matrix A zunächst konjugiert und anschließend transponiert, so erhält man die
konjugiert transponierte Matrix: A = (A ∗ ) T .
Definition 81 Eine n-reihige komplexe Matrix A = (a ij ) heißt hermitesch, wenn gilt A =
A = (A ∗ ) T .
§ 1206 Bei einer hermiteschen Matrix sind alle Hauptdiagonalelemente a ii reell, ebenso die
Determinante. Der Realteil B ist eine symmetrische, der Imaginärteil C dagegen eine schiefsymmetrische
Matrix. Im Reellen fallen daher die Begriffe hermitesche und symmetrische
Matrix zusammen.
§ 1207 Eine schief-hermitesche Matrix A = −A = −(A ∗ ) T entspricht der schief-symmetrischen
Matrix im Reellen. Alle Hauptdiagonalelemente sind imainär; der Realteil B bildet eine schiefsymmetrische
Matrix, der Imaginärteil C dagegen eine symmetrische Matrix.
Definition 82 Eine Matrix heißt unitär, wenn das Produkt aus A und der konjugiert transponierten
Matrix A die Einheitsmatrix ergibt: A A = E.
§ 1208 Bei einer unitären Matrix A ist die konjugiert Transponierte A gleich der Inversen
A −1 : A = A −1 . Eine unitäre Matrix A ist regulär, da ihre Determinante den Betrag 1 hat und
damit von Null verschieden ist. Im Reellen fallen die Begriffe unitäre Matrix und orthogonale
Matrix zusammen. Die Inverse einer unitären Matrix ist ebenso wie das Produkt unitärer
Matrizen wiederum eine unitäre Matrix.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode