Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

538 ANHANG C. ERSTE HILFE
§ 1900 Die Bestimmung der Fläche zwischen zwei Kurven ist mit ähnlichen Fallstricken
versehen wie die Bestimmung der Fläche zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen.
Das ist verständlich, da wir die x-Achse auch als Funktion g(x) = 0 darstellen können und die
allgemeine Gleichung (C.5) anwenden können. Problemen bei der Bestimmung des Integrals
gibt es, wenn eine Nullstelle im Integrationsintervall liegt, d.h. wenn der Funktionsgraph
von f(x) die durch die Funktion g(x) beschriebene x-Achse schneidet. In diesem Fall erfolgt
die Integration von der unteren Grenze des Integrationsintervalls bis zum Schnittpunkt c
der beiden Funktion und anschließend in einem zweiten Integral vom Schnittpunkt bis zur
Obergrenze des Integrationsintervalls. Die Beträge der beiden Teilintegrale werden addiert:
A =
∫ b
a
{f(x) − g(x)} dx =
∫ c
a
∫ b
|f(x) − g(x)| dx +
c
|f(x) − g(x)| dx .
Dabei ist es egal, ob Sie den Betrag vor der Integration bilden, wie in der obigen Gleichung
vorgeschlagen, oder erst die Teilintegrale ausführen und dann deren Beträge addieren.
Beispiel 25 Gesucht ist der Inhalt des Flächenstücks, das zwischen den Funktionen
f(x) = 2x−2 und g(x) = 1 2 x2 −8 im Bereich ihrer Schnittpunkte liegt. Veranschaulichen
wir uns die Situation: f(x) ist eine Gerade mit positiver Steigung und negativem
Achsenabschnitt auf der y-Achse, g(x) ist eine nach oben offene Parabel, die entlang
der y-Achse nach unten verschoben ist. Die Schnittpunkte der beiden Kurven ergeben
sich durch Gleichsetzen der beiden Funktionen:
und damit
2x s − 2 = 1 2 x2 s − 8 ⇒ x 2 s − 4x s − 12 = (x s + 2)(x s − 6) = 0
x s1 = −2 und x s2 = 6 .
In diesem Integrationsintervall liegt die Gerade oberhalb der Parabel, d.h. es ist
f(x) > g(x). Damit gilt für die Fläche
C.3.3
A =
6∫
−2
{
(2x − 2) −
( 1
2 x2 − 8 )} dx =
= [ − 1 6 x3 + x 2 + 6x ] 6
−2 = 128
3
.
Rotationskörper
6∫
−2
(
−
1
2 x2 + 2x + 6 ) dx
§ 1901 So, wie wir mit der Integralrechnung die Fläche zwischen der x-Achse und dem
Funktionsgraphen bestimmen können, so können wir Integrale auch zur Verwendung des
Volumens von Rotationskörpern verwenden. Ein Rotationskörper entsteht, wenn man ein
Flächenstück um eine Achse rotieren lässt. Das Flächenstück sei begrenzt durch die x-Achse,
die Ordinaten bei x 1 = const und x 2 = const sowie die Kurve f(x), es rotiere um die x-Achse.
Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und f(x) kann durch Integration bestimmt werden,
d.h. durch die Summation unendlich vieler unendlich schmaler Rechtecke unter der Kurve.
Das Volumen eines Rotationskörpers können wir bestimmen, indem wir ihn in unendlich
viele unendlich dünne Scheibchen senkrecht zur x-Achse zerlegen: der gleiche Prozess, der bei
der Integration vorgenommen wird, lediglich mit dem Unterschied, dass man das unendlich
schmale Rechteck unter der Kurve jetzt um die x-Achse rotieren lässt. Dabei entsteht ein
unendlich dünner Zylinder mit der Grundfläche F = πf(x) 2 und der Höhe dx. Über diese
Zylinder müssen wir summieren, um das Volumen zu erhalten:
V = lim
∆x→0
∑x 2
x 1
(πf(x) 2 · ∆x) = π
∫ x 2
x 1
f(x) 2 dx .
✷
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode