Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

312 KAPITEL 8. MATRIZEN
§ 1156 Als erste (und einfachste) mathematische Operation betrachten wir die Addition von
Matrizen. Matrizen beschreiben die Transformation von Objekten eines Vektorraums in einen
anderen. Die Eigenschaften dieser mathematischen Operation sollten daher sinnvolle Erweiterungen
der bisherigen Konzepte von Gruppen und Vektorräumen bilden, wie in Abschn. 1.6
und 6.4 diskutiert.
§ 1157 Unter dieser Annahme muss die Addition von Matrizen die folgenden Bedingungen
erfüllen:
• Abgeschlossenheit: die Summe zweier m × n-Matrizen ergibt wieder eine m × n-Matrix.
Die Dimension m × n charakterisiert die Dimensionen der Vektorräume aus denen heraus
bzw. in die hinein transfortmiert werden soll. Damit beschreibt die Dimension einer Matrix
eine bestimmte Klasse von Abbildungen und die Summe zweier Abbildungen dieser Klasse
sollte wieder ein Element dieser Klasse sein.
• es existiert genau ein neutrales Element der Addition, die Nullmatrix, deren Elemente
Nullen sind:
⎛
⎞
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
0 = ⎜
⎟
⎝
. . . .
⎠ .
0 0 . . . 0
Für jede Klasse von Abbildungen hat die Einheitsmatrix die entsprechende Dimension
m×n; diese Dimension ist eine spezielle Eingenschaft der Einheitsmatrix und ändert nichts
an ihrer Bedeutung für mathematische Operationen und die Definition mathematischer
Gebilde.
• es existiert ein inverses Element der Addition. Die Summe aus Matrix A und bezüglich der
Addition inverser Matrix −A ergibt das neutrale Element:
A + (−A) = 0 .
• es gilt das Assoziativgesetz der Addition:
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C .
• es gilt das Kommutativgesetz der Addition:
A + B = B + A .
§ 1158 Aus diesen Bedingungen lässt sich das Verfahren der Addition direkt herleiten: Matrizen
werden elementweise addiert:
C = A + B mit c ij = a ij + b ij .
Matrizen können nur dann addiert werden, wenn sie gleiche Zeilen- und Spaltenzahl haben,
d.h. die Abgeschlossenheit gilt nur innerhalb der jeweiligen Klasse von m × n-Matrizen. Das
ist uns bereits bei Vektoren begegnet, wenn es auch nur implizit angenommen wurde: es ist
nicht möglich, einen Vektor mit zwei Komponenten zu einem Vektor mit drei Komponenten
zu addieren – was auch anschaulich nicht besonders sinnvoll wäre.
§ 1159 In direkter Erweiterung der Addition lässt sich, wieder wie bei den Vektoren, die
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl λ einführen. Diese wird als λfache Addition interpretiert,
d.h. die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl erfolgt ebenfalls elementweise:
λA = λ(a ij ) = (λa ij ) .
Auch diese Operation erfüllt die Gruppeneigenschaften, d.h. es gilt
• Abgeschlossenheit: das Produkt einer m × n-Matriz mit einem Skalar ergibt wieder eine
m × n-Matrix.
• es existiert genau ein neutrales Element der Multiplikation mit einem Skalar, der Skalar
λ = 1: 1A = A.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode