Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.2. VERTEILUNGSFUNKTIONEN 447
§ 1667 Für diskrete bzw. stetige Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)
sind diese Größen bestimmt zu:
1. Mittel- oder Erwartungswert
2. Varianz
µ = ∑ i
σ 2 = ∑ i
3. Standardabweichung
x i f(x i ) bzw. µ =
∫ ∞
−∞
(x i − µ) 2 f(x i ) bzw. σ 2 =
x f(x) dx .
∫ ∞
−∞
(x − µ) 2 f(x) dx .
σ = √ √ ∑
σ 2 =
i
(x i − µ) 2 f(x i ) bzw. σ = √ σ 2 .
§ 1668 Den Erwartungs- bzw. Mittelwert beim Würfeln haben wir bereits in Bsp. 1663
bestimmt. Damit können wir die Varianz bestimmen zu
σ 2 = 1 6
(
(−2.5) 2 + (−1.5) 2 + (−0.5) 2 + 0.5 2 + 1.5 2 + 2.5 2) = 17.5
6
und die Standardabweichung zu
σ = √ σ 2 = 1.71 .
= 2.92
Beide Größen geben ein Maß für die Breite der Verteilung, da in sie die Abweichung (x i − µ)
der einzelnen Werte vom Mittelwert gewichtet mit der Häufigkeit f(x i ) des Auftretens dieser
Werte eingeht. Die anschauliche Interpretation der Standardabweichung ist in diesem Beispiel
problematisch, für die Normalverteilung wird weiter unten eine anschauliche Interpretation
gegeben.
12.2.3 Binominal Verteilung
binomische Reihe (2.11)
§ 1669 Zufallsexperimente mit nur zwei möglichen Ausgängen A und B = A mit den Wahrscheinlichkeiten
p = p(A) und p(B) = q = 1 − p(A) werden als Bernoulli-Experiment bezeichnet.
Ein Beispiel ist der Münzwurf mit p = q = 1 2 .
§ 1670 Betrachten wir ein Mehrstufenexperiment, das aus der n-fachen Ausführung eines
Bernoulli-Experiments besteht. Dann genügt die Zufallsvariable
X = Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A eintritt
der Binominalverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
( )
n
f(x) = P (X = x) = p x q n−x (x = 0, 1, 2, ...., n) (12.7)
x
und der zugehörigen Verteilungsfunktion
F (x) = P (X ≤ x) = ∑ ( )
n
p k q n−k (x ≥ n) ,
k
k≤x
n und p sind dabei die Parameter der Binominalverteilung.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007