Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

214 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Funktionsgraphen entlang der entsprechenden Koordinatenachse geben. Bei der komplexwertigen
Funktion dagegen bilden wir nicht etwa die Ableitungen entlang der reellen und der
imaginären Achse getrennt sondern bilden konventionell den Quotienten aus der Differenz
der, nun allerdings komplexen Funktionswerte und der komplexen Werte der unabhängigen
Variablen. Das Ergebnis ist ein komplexer Wert für die Steigung.
§ 839 Betrachten wir als Beispiel die Funktion f(z) = z −1 . Die Ableitung ergibt sich gemäß
obiger Definition zu
f ′ 1/z − 1/z 0 z 0 − z
(z) = lim
= lim
z→z 0 z − z 0 z→z 0 zz 0 (z − z 0 ) = lim −1
= − 1
z→z 0 zz 0 z 2 .
Diese Ableitung existiert für alle Punkte z ≠ 0.
§ 840 Diese wenigen Anmerkungen sollen bei Ihnen die Vorstellung wecken, dass komplexwertige
Funktionen mit den bereits von reellen Funktionen bekannten Begriffen betrachtet
werden können. Technisch sind wir dazu jedoch noch nicht in der Lage – diese Details werden
in späteren Vorlesungen geliefert.
6.4.6 War’s das oder kommen noch mehr Zahlen?
§ 841 Jein. Das Fundamentaltheorem der Algebra besagt, dass jedes Polynom n ten Grades
der Form p(z) = z n + a n−1 z n−1 + . . . a 1 z + a 0 für beliebige komplexe Koeffizienten a i ∈ C
und a 0 ≠ 0 genau n Lösungen in C hat, wobei einige Lösungen mehrfach auftreten können.
§ 842 Der Beweis ist etwas trickreich. Für n = 2 ist er einfach, da es eine geschlossene
Form für die Lösungen gibt, die pq-Formel (C.1). Mit etwas mehr Mühe lässt sich dieses
Verfahren auch für n = 3 und n = 4 anwenden, es versagt jedoch bereits bei n = 5, da es für
eine derartige Gleichung keine allgemeine Lösung gibt. Eine Skizze für einen Beweis dieses
Fundamentaltheorems durch Widerspruch finden Sie in [23].
§ 843 Für die Lösung von Polynomen sind die komplexen Zahlen demnach ausreichend.
Aber nicht jede physikalische oder mathematische Fragestellung lässt sich auf ein Polynom
reduzieren. Ein Gegenbeispiel würde eine schnelle Antwort auf die Frage geben – mit unseren
momentanen Kenntnissen finden wir aber keines. Dass heißt aber nicht, dass die komplexen
Zahlen für alle Probleme ausreichend sind – das nächste Beispiel, mit dem wir es versuchen,
könnte das Gegenbeispiel sein.
§ 844 Vielleicht der umgekehrte Versuch: welche Eigenschaften sollte ein weiteres Zahlensystem
haben? Die bisher betrachteten Zahlensysteme fallen in zwei Gruppen: die einfachen und
intuitiven Zahlensysteme von N bis R sind eindimensional. Außerdem ist bei jeder Erweiterung
so angebaut worden, dass die Ausgangsmenge eine Teilmenge des neuen Zahlensystems
ist: N ⊂ N 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Die komplexen Zahlen dagegen sind zweidimensional. Es wird
eine neue Größe eingeführt, die imaginäre Einheit i, und die komplexen Zahlen lassen sich
aufbauend auf den reellen Zahlen darstellen als z = a+ib mit a, b ∈ R. Alle eindimensionalen
Zahlensysteme sind eine Untermenge der komplexen Zahlen für b = 0: R ⊂ C. Die ein- wie die
zweidimensionalen Zahlensysteme bilden außerdem Körper, d.h. es existieren Verknüpfungen,
die bestimmten Grundregeln wie Assoziativ- und Distributivgesetz gehorchen und die neutrale
und inverse Elemente enthalten. Insbesondere gelten für die komplexen Zahlen die aus
dem R bekannten Rechenregeln.
§ 845 Ein neues Zahlensystem sollte diese Eigenschaften beibehalten: es sollte ebenfalls einen
Körper bilden und C sollte eine Teilmenge der neuen Zahlen sein. Eine Erweiterung im 2D
ist nicht zu erwarten: R war in einem gewissen Sinn vollständig, so dass sich keine weiteren
Zahlen in dieser Dimension unterbringen ließen. R ließ sich nur durch Hinzunahme einer
weiteren Dimension zu C erweitern. Eine Erweiterung von C müsste in Richtung einer dritten
Dimension erfolgen, z.B. durch Einführung einer neuen Art von X-Zahl j, die nicht in der
komplexen Ebene gefunden werden kann. In diesem drei-dimensionalen System lässt sich jede
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode