Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KOMPLEXE ZAHLEN MATHEMATISCH 209
Spule:
X L = iωL .
Durch die Bauteile fließt ein Strom i, die Spannungsabfälle über den einzelnen Bauteilen
geben wieder die angelegt Spannung u:
( (
u == u R + u C + u L = Ri + X C i + X L i = i(R + X C + X L ) = i R + i ωL − 1 ))
.
ωC
Der komplexe Ersatzwiderstand Z ist
(
Z = R + i ωL − 1 )
.
ωC
6.4 Komplexe Zahlen mathematisch
§ 810 Komplexe Zahlen bilden einen Körper, d.h. sie sind eine Menge von Objekten, die
bestimmten Rechenregeln folgen. Auch reelle Zahlen bilden einen Körper.
6.4.1 Natürliche Zahlen
§ 811 Am Beispiel der natürlichen Zahlen wollen wir einen Zugang zu diesem Begriff versuchen.
Was sind natürliche Zahlen? Als erste Definition könnten wir versuchen, die Menge
explizit anzugeben:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .} .
Da N unendlich viele Elemente enthält, ist eine explizite Darstellung nicht möglich, angedeutet
durch die Punkte. Daher müssen wir die Menge über ihre Eigenschaften indirekt
beschreiben. Dieser Satz von Axiomen soll so klein wie möglich sein. Eine mögliche Formulierung
ist
1. das System der natürlichen Zahlen besteht aus einer Menge N der natürlichen Zahlen,
in der es eine Zählregel + 1 n gibt, mit deren Hilfe sich aus jeder natürlichen Zahl n eine
andere natürliche Zahl n + 1 bestimmen lässt, die der Nachfolger von n ist.
2. N enthält ein kleinstes Element 1 mit der Eigenschaft, dass 1 kein Nachfolger irgend einer
natürlichen Zahl ist.
3. die Nachfolger von jedem Paar verschiedener natürlicher Zahlen sind ebenfalls verschiedene
Zahlen.
4. S sei eine Teilmenge von N und enthalte das Element 1. Wenn S alle Nachfolger von 1
enthält, so ist S identisch N. Letzteres Axiom verwenden wir auch bei der vollständigen
Induktion (siehe Abschnitt 2.5.1).
§ 812 Für diese Menge N gelten zwei verschiedene Verknüpfungen, die Addition und die
Multiplikation. Beide gehorchen bestimmten Regeln. Beides sind interne Verknüpfungen, d.h.
das Ergebnis der Verknüpfung ist wieder eine natürliche Zahl.
§ 813 Die Eigenschaften der Addition zweier Zahlen a, b ∈ N sind:
• die Addition ist, wie bereits erwähnt, eine interne Verknüpfung: a + b = c mit c ∈ N.
• es gilt das Kommutativgesetz der Addition: a + b = b + a.
• es gilt das Assoziativgesetz der Addition: a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c.
Für die Multiplikation zweier Zahlen a, b ∈ N gelten entsprechende Regeln:
• die Multiplikation ist eine interne Verknüpfung: ab = c mit c ∈ N.
• es gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: ab = ba.
• es gilt das Assoziativgesetz der Multiplikation: a(bc) = (ab)c = abc.
• es gibt ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, die 1: 1a = a.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007