Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.7. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 263
Abbildung 7.15: Fourier Reihe zur Darstellung der Funktion f(x) = x 2 im Intervall −π <
x ≤ π; links die Beiträge der einzelnen Terme, d.h. die Gleider der der Reihe zu Grunde
liegenden Folge, rechts die ersten Glieder der Folge
§ 996 Auch eine nicht periodische Funktion kann durch eine Fourier Reihe angenähert werden.
Betrachten wir als Beispiel f(x) = x 2 . Da es sich hierbei um eine gerade Funktion
handelt, f(x) = f(−x), verschwinden die Sinus-Terme und die Funktion lässt sich als Fourier
Reihe in der Form
∞∑
x 2 = A n cos(nx)
n=0
schreiben. Zur Bestimmung der Fourier Koeffizienten müssen die Integrale (7.34) ausgeführt
werden. Beschränken wir uns auf den Bereich −π < x ≤ π, so ergibt sich unter Verwendung
der Produktintegration
sowie
A n = 1 π
A 0 = 1 π
∫ π
−π
∫ π
−π
x 2 cos(nx) dx = 4 n 2 (−1)n n > 0
x 2 dx = 2 3 π2 .
Zusammen gefasst ergibt sich für −π < x ≤ π als Annäherung an die Funktion x 2 :
x 2 = π2
3 + 4 ∞
∑
n=1
(−1) n cos(nx)
n 2 .
Der Aufbau der Funktion ist in Abb. 7.15 für die ersten fünf Glieder der Reihe (rechts)
gezeigt, die Beiträge der einzelnen Summanden (entsprechend den Gliedern der zu Grunde
liegenden Folge) sind im linken Teil gezeigt. Für x = π ergibt sich
∞
π 2 = π2
3 + 4 ∑ 1
n 2 → π 2 = 6
n=1
∞∑
n=1
1
n 2 .
Diese Verknüpfung einer einfachen Reihe natürlicher Zahlen mit der transzendenten Zahl π
ist ein überraschender Nebeneffekt dieser Analyse.
Exkursion JPEG
§ 997 Sie gehen, ohne sich dessen bewusst zu sein, nahezu täglich mit einer speziellen, auf
der Fourier-Analyse basierenden Filtertechnik um, insbesondere wenn Sie sich mit digitalen
oder digitaliserten Bildern beschäftigen, z.B. im Internet oder auf Ihrem Handy. Ein Farbbild
besteht, entsprechend seinem Aufbau in der analogen Photographie aus drei Schichten: rot,
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007