Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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Aufgabe 7: Zylinderkoordinaten: ϱ ⃗a = 2.82, ϕ ⃗a = 2.36, z ⃗a = 5; ϱ ⃗b = 3.16, ϕ ⃗b = −1.25,
z ⃗b = 7. Kugelkoordinaten: r ⃗b = 5.75, ϕ ⃗b = 2.36, ϑ ⃗b = −1.06 r ⃗b = 7.68, ϕ ⃗b = −1.25,
ϑ ⃗b = 1.15.
Aufgabe 8: ⃗a × ⃗ b = (−1, 0, 1), |⃗a × ⃗ b| = √ 2, ⃗e ⃗a× ⃗ b
= (−1, 0, 1)/2; ⃗a × ⃗c = (2, −3, −5),
|⃗a × ⃗c| = √ 38, ⃗e ⃗a×⃗c = (2, −3, −5)/38; ⃗ b × ⃗c = (5, −6, −8), | ⃗ b × ⃗c| = √ 125 = 5 √ 5, ⃗e ⃗b×⃗c =
(5, −6, −8)/(5 √ 5). Es gibt jeweils zwei Lösungen, da auch der entgegengesetzte Normaleneinheitsvektor
senkrecht auf der Ebene steht. Dieser ergibt sich, wenn statt ⃗a × ⃗ b der Ausdruck
⃗ b × ⃗agebildet wird. Für die Ebene ist es egal, welchen der beide Vektoren Sie als Normaleneinheitsvektor
verwenden;sie wird durch beschrieben.
Aufgabe 9: die Projektionen ergeben sich jeweils aus der Definition des Skalarprodukts.
Allerdings ist im allgemeinen ⃗a ⃗b ≠ ⃗ b ⃗a ; selbst für die Beträge gilt im allgemeinen |⃗a ⃗b | ̸= | ⃗ b ⃗a |.
Zum Verfahren:erst den Betrag der Projektion mit Hilfe des Skalarprodukts bestimmen, für
die Richtung mit dem Einheitsvektor des Vektors, auf den projiziert wurde, multiplizieren:
⎛
(⃗a ·⃗b) ⃗ b
⃗a ⃗b =
| ⃗ b| | ⃗ b| = 5 9 ⃗ b = 5 9
⎝ 2 −1
2
sowie (ohne die Gleichungen)
⎛
⃗a ⃗c = 1 ⎝ −2
⎞ ⎛
−3 ⎠ , ⃗c ⃗a = 2 7
3
1
⎝ 1 −1
1
⎞
⎠ ,
⎞
⃗ ba =
⎠ ⃗ b⃗c = 1
14
(⃗a ·⃗b)
|⃗a|
⃗a
|⃗a| = 5 3 ⃗a = 5 3
⎛
⎝ 1 −1
1
⎛ ⎞
⎛
⎝ −2
−3 ⎠ und ⃗c ⃗b =
1
⎝ 2 −1
2
Aufgabe 10: die Vektoren sind komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Dann spannen
sie aber keinen Raum auf, so dass das Volumen des Spats verschwindet. Bedingung für
Komplanarität also verschwinden des Spatprodukts:
[⃗a ⃗ b⃗c] = 61 + 34λ ! = 0 ⇒ λ = −61/34 .
Aufgabe 11: linke Seite:
⎡⎛
⎣⎝ a ⎞ ⎛
1
a 2
⎠ × ⎝ b ⎤ ⎡⎛
1
⎠⎦ · ⎣⎝ c ⎛
1
⎠ × ⎝ d ⎤ ⎛
1
⎠⎦ = ⎝ a ⎛
2b 3 − a 3 b 2
⎠ · ⎝ c 2d 3 − c 3 d 2
⎠
a 3
⎞
b 2
b 3
⎞
c 2
c 3
⎞
d 2
d 3
⎞
a 3 b 1 − a 1 b 3
a 1 b 2 − a 2 b 1
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ .
⎞
c 3 d 1 − c 1 d 3
c 1 d 2 − c 2 d 1
= (a 2 b 3 − a 3 b 2 )(c 2 d 3 − c 3 d 2 ) + (a 3 b 1 − a 1 b 3 )(c 3 d 1 − c 1 d 3 ) + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )(c 1 d 2 − c 2 d 1 )
= a 2 b 3 c 2 d 3 − a 3 b 2 c 2 d 3 − a 2 b 3 c 3 d 2 + a 3 b 2 c 3 d 2 + a 3 b 1 c 3 d 1 − a 3 b 1 c 1 d 3
−a 1 b 3 c 3 d 1 + a 1 b 3 c 1 d 3 + a 1 b 2 c 1 d 2 − a 1 b 2 c 2 d 1 − a 2 b 1 c 1 d 2 + a 2 b 1 c 2 d 1
= LS 1 + LS 2 + LS 3 + LS 4 + LS 5 + LS 6 + LS 7 + LS 8 + LS 9 + LS 10 + LS 11 + LS 12 .
Rechte Seite:
⎡⎛
⎣⎝ a ⎞ ⎛
1
a 2
⎠ · ⎝ b ⎞⎤
⎡⎛
1
b 2
⎠⎦
⎣⎝ c ⎞ ⎛
1
c 2
⎠ · ⎝ d ⎞⎤
⎡⎛
1
d 2
⎠⎦ − ⎣⎝ a ⎞ ⎛
1
a 2
⎠ · ⎝ d ⎞⎤
⎡⎛
1
d 2
⎠⎦
⎣⎝ b ⎞ ⎛
1
b 2
⎠ · ⎝ c ⎞⎤
1
c 2
⎠⎦
a 3 b 3 c 3 d 3 a 3 d 3 b 3 c 3
= (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 )(b 1 d 1 + b 2 d 2 + b 3 d 3 ) − (a 1 d 1 + a 2 d 2 + a 3 d 3 )(b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 )
= a 1 c 1 b 1 d 1 + a 1 c 1 b 2 d 2 + a 1 c 1 b 3 d 3 + a 2 c 2 b 1 d 1 + a 2 c 2 b 2 d 2 + a 2 c 2 b 3 d 3
+a 3 c 3 b 1 d 1 + a 3 c 3 b 2 d 2 + a 3 c 3 b 3 d 3 − a 1 d 1 b 1 c 1 − a 1 d 1 b 2 c 2 − a 1 d 1 b 3 c 3
−a 2 d 2 b 1 c 1 − a 2 d 2 b 2 c 2 − a 2 d 2 b 3 c 3 − a 3 d 3 b 1 c 1 − a 3 d 3 b 2 c 2 − a 3 d 3 b 3 c 3
= LS 9 + LS 8 + LS 12 + LS 1 + LS 5 + LS 4 + LS 10 + LS 7 + LS 11 + LS 3 + LS 6 + LS 2 .
Mittleren Term können Sie jetzt aber wirklich selbst ausführen!
Aufgabe 12: die beiden Vektoren ⃗a und ⃗ b bilden zwei Seiten des Dreiecks, die dritte Seite
ist ⃗c = ⃗a − ⃗ b. Der gesuchte Betrag der dritten Seite ergibt sich durch quadrieren:
c 2 = ⃗c 2 = (⃗a − ⃗ b) 2 = ⃗a 2 + ⃗ b 2 − 2⃗a ·⃗b = a 2 + b 2 − 2ab cos α .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007