Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.3. ENTROPIE UND MAXWELL BOLTZMANN-VERTEILUNG 459
Abbildung 12.9:
Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung.
(a)
Verteilung der Teilchengeschwindigkeiten
in
einem ruhenden Gas. (b)
Maxwell-Verteilung für
eine einzelne Geschwindigkeitskomponente
in
einem ruhenden Gas, die
anderen Komponenten
sind durch Integration
entfernt
12.3.3 Maxwell Boltzmann-Verteilung
§ 1716 n der Thermodynamik wird die Boltzmann-Verteilung (12.22) zur Beschreibung der
Zustände eines Systems verwendet. Sie wird als Maxwell’sche-Geschwindigkeitsverteilungoder
Maxwell Boltzmann-Verteilung bezeichnet und gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Geschwindigkeiten der Moleküle eines Gases
F (⃗v) =
( m
2πkT
) }
3/2
exp
{− mv2
2kT
(12.23)
mit k als Boltzmann-Konstante, T als Temperatur des Gases und ⃗v als Geschwindigkeit.
Der Vorfaktor entspricht dem 1/Z in (12.22) und dient der Normierung: da die Maxwell-
Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, muss gelten ∫ F (v) d⃗v = 1. Der Bruch in
der Exponentialfunktion enthält im Zähler die kinetische Energie 1 2 mv2 der einzelnen Moleküle
und im Nenner mit kT = 1 2 mv2 die mittlere kinetische Energie. Gleichung (12.23)
gibt eine Geschwindigkeitsverteilung, d.h. sie ist abhängig von Betrag und Richtung der Geschwindigkeit.
Um eine Verteilung nur in Abhängigkeit vom Betrag der Geschwindigkeit zu
erhalten, integrieren wir (12.23) über alle Richtungen. Dabei geht das Differential d⃗v, d.h.
ein kleines Volumenelement an der Spitze des Vektors ⃗v, über in eine Kugelschale mit Radius
v und Dicke dv: d⃗v → 4πv 2 dv. Entsprechend geht die Wahrscheinlichkeit F (⃗v) d⃗v, ein
Teilchen mit einer Geschwindigkeit im Intervall zwischen ⃗v und ⃗v + d⃗v zu finden, über in die
Wahrscheinlichkeit f(v)dv, ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit im Intervall zwischen v
und v + dv zu finden: f(v) = 4πv 2 F (⃗v). Damit erhalten wir für die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
(
f(v) = 4π v 2 m
) }
3/2
exp
{− mv2 .
2πkT
2kT
§ 1717 Teil (a) von Abb. 12.9 zeigt eine Maxwell’sche-Geschwindigkeitsverteilung. Hier wurde
bewusst eine sehr hohe Temperatur gewählt, um die Asymmetrie der Verteilung aufzuzeigen.
Für kleine Geschwindigkeiten steigt die Verteilung proportional zu v 2 an, für große
Geschwindigkeiten fällt sie exponentiell ab. Das Maximum der Kurve ist die wahrscheinlichste
Geschwindigkeit
√
2kT
v th =
m .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007