Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.9. NUMERISCHE VERFAHREN 283
Abbildung 7.21: Links: Vergleich von drei Monte Carlo Simulationen zum radioaktiven Zerfall
mit der analytischen Lösung (grün). Im rechten Teilbild ist die Verteilung der Ergebnisse zur
Zeit t = 2.5 gezeigt für 1000 verschiedene Monte Carlo Runs; der Erwartungswert beträgt 41
natürlich keinen Sinn: dieses Teilchen existiert so lange, bis es zur Zeit t z zerfällt, d.h. wir
erhalten für ein einzelnes Teilchen eine Funktion
{ 1 t < tz
N einzel (t) =
.
0 t ≥ t z
Stattdessen müssen wir das Verhalten einer hinreichend großen Zahl von Teilchen simulieren,
um durch Überlagerung der Historien der Teilchen eine statistisch repräsentative Aussage
über die Zahl der Teilchen zu erhalten.
§ 1065 In Abhängigkeit von unserer Fragestellungen können wir unterschiedliche Ansätze
wählen:
• interessiert uns nur die zur Zeit t end noch vorhandene Anzahl von Teilchen, so können wir
jedes Teilchen einzeln entlang der Zeitachse verfolgen: entweder kommt es bei t end an oder
nicht. Die Zahl der dort ankommenden Teilchen ist das gesuchte Ergebnis.
• interessiert uns dagegen die Entwicklung N(t) der Teilchenzahl, so kann sich ein anderer
Ansatz als sinnvoll erweisen. Dazu erzeugen wir einen Vektor N, dessen Länge der Teilchenzahl
entspricht. Die Elemente dieses Vektors sind Einsen: hier existiert ein Teilchen.
Am Ende jedes Zeitschritts wird ein Vektor gleicher Länge erzeugt, dessen Elemente mit
Hilfe von Zufallszahlen zu Eins (das Teilchen zerfällt nicht) bzw. Null (Teilchen zerfällt)
bestimmt wurden. Elementweise (punktweise) Multiplikation dieses Vektors mit N gibt das
Schicksal der Teilchenpopulation am Ende des Zeitintervalls; die Zahl der Einsen in diesem
Vektor (d.h. die Summe seiner Elemente) gibt die gesuchte Größe N(t).
Selbstverständlich können beide Verfahren mit leichter Modifikation auch auf das jeweilige
andere Problem angewandt werden. Die erste Methode hat den Vorteil schnell zu sein: ein
einmal zerfallenes Teilchen wird auf der Zeitleiste nicht wie im zweiten Verfahren weiter
verfolgt. Um die zeitliche Entwicklung der Population zu beschreiben, muss aber dennoch
das Schicksal des Teilchens bis zu seinem Zerfall gespeichert werden. Im zweiten Verfahren
ist es einfacher, die zeitliche Entwicklung zu verfolgen. Es hat jedoch den Nachteil, dass mit
zunehmender Zeit immer mehr sinnlose Nullen im Vektor N mitgeschleppt werden – und eine
entsprechend große Zahl von Zufallszahlen erzeugt wird, die nicht benötigt werden. 11
§ 1066 Das Ergebnis einer derartigen Monte Carlo Simulation kann mit dem analytischen
Ergebnis verglichen werden. Abbildung 7.21 zeigt drei verschiedenen Simulationen mit jeweils
11 Der Ansatz lässt sich allerdings leicht modifizieren derart, dass nur die Einsen im Vektor N weiter verfolgt
werden. Dann verringert sich die Länge des Vektors und entsprechend auch die Länge des Vektors, der die
Zufallszahlen zur Bestimmung von Zerfall oder Überleben enthält.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007