Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.4. DIFFERENTIATION VON FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 143
• Auch die Faktorregel ist eine Folge der Linearität des Nabla-Operators:
∇(αA) = α ∇A .
• Die Produktregel entspricht der normalen Produktregel der Differentiation:
∇(AB) = A∇B + B∇A .
Gradient in krummlinigen Koordinaten
§ 568 Da das Konzept des Gradienten für ein Feld unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem
gilt, benötigen wir zusätzlich zur Definition 4.5 auch Darstellungen für den Gradienten
in krummlinigen Koordinaten. Diese können wir mit Hilfe der entsprechenden Transformationsgleichungen
unter Berücksichtigung der Kettenregel herleiten. Beim Übergang von
Koordinaten (x, y, z) auf (r, ϕ, ϑ) liefert die Kettenregel für eine der Komponenten
∂
∂x = ∂r
∂x
∂
∂r + ∂ϑ
∂x
∂
∂ϑ + ∂ϕ
∂x
∂
∂ϕ .
§ 569 In Kugelkoordinaten (r, ϕ, ϑ) ist der Gradient gegeben als
gradA = ∇A = ∂A
∂r ⃗e r + 1 ∂A
r ∂θ ⃗e θ + 1 ∂A
r sin θ ∂ϕ ⃗e ϕ . (4.7)
Der entsprechende Ausdruck in Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) lautet
gradA = ∇A = ∂A
∂ϱ ⃗e ϱ + 1 ∂A
ϱ ∂ϕ ⃗e ϕ + ∂A
∂z ⃗e z . (4.8)
Die Vorfaktoren ergeben sich aus der Kettenregel (s.o), wir werden sie im Zusammenhang
mit der Jacobi Determinante (4.22) in Abschn. 4.5.5 noch genauer kennen lernen.
Zwischenrechnung 15 Leiten Sie die Ausdrücke für den Gradienten in krummlinigen Koordinaten
explizit unter Anwendung der Kettenregel und der in Kap. 1 gegebenen Transformationsregeln
her.
§ 570 Für viele der häufig in der Physik auftretenden Geometrien ist die Beschreibung durch
krummlinige Koordinaten einfacher als die durch kartesische. Als Beispiel ist das elektrische
Feld E ⃗ = −∇U aus dem Potential U zu bestimmen. Das Potential U = q/(4πε 0 r) einer
Punktladung ist kugelsymmetrisch, d.h. symmetriegerechte Koordinaten sind Kugelkoordinaten.
Mit (4.7) erhalten wir
( ∂
∇U =
∂r ⃗e r + 1 r
∂
∂θ ⃗e θ + 1
r sin θ
)
∂ q
∂ϕ ⃗e ϕ
4πε 0 r .
Da U nur von r, auf Grund der Symmetrie jedoch nicht von ϑ und ϕ abhängt, verschwinden
die Ableitungen ∂U/∂ϕ und ∂U/∂ϑ und wir erhalten
⃗E = −∇U = − ∂ ∂r ⃗e q
r
4πε 0 r = q
4πε 0 r 2 ⃗e r .
Das Gravitationspotential und das sich daraus ergebende Gravitationsfeld werden analog
beschrieben.
§ 571 Das Problem lässt sich natürlich auch in kartesischen Koordinaten lösen. Dazu muss
nur r = √ x 2 + y 2 + z 2 gesetzt werden, so dass der Gradient in kartesischen Koordinaten
bestimmt werden kann:
∇U =
( ∂
∂x ⃗e x + ∂ ∂y ⃗e y + ∂ ∂z ⃗e z
)
q
4πε 0
√
x2 + y 2 + z 2 .
Hier verschwindet keine der Ableitungen, allerdings sind die Ableitungen nach den drei Komponenten
alle nach dem gleichen Muster zu bilden. Für die Ableitung nach x ergibt sich
∂ 1
√
∂x x2 + y 2 + z = ∂
2 ∂x (x2 + y 2 + z 2 ) − 1 1
2 = −
2 (x2 + y 2 + z 2 ) − 3 2 2x .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007