Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.5. DIFFERENTIATION VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 153
Abbildung 4.14: Volumenelement
in Kugelkoordinaten
Für die Beschleunigung ergibt sich mit v z =const und v ϕ =const:
⃗a = ˙⃗v = d dt (v ϕ⃗e ϕ + v z ⃗e z ) = ˙v ϕ ⃗e ϕ + v ϕ ˙⃗eϕ + ˙v z ⃗e z + v z ⃗e ˙ z = v ϕ ⃗e ˙ ϕ = − ˙ϕv ϕ ⃗e r = −a r ⃗e r .
Zwischenrechnung 18 Leiten Sie den allgemeinen Ausdruck für die Geschwindigkeit und
die Beschleunigung in Polarkoordinaten her (keine der Komponenten bleibt konstant)!
Kugelkoordinaten
§ 607 Die Einheitsvektoren leiten sich gemäß (4.15) her. Aus der Transformationsgleichung
⎛
⎞
r sin ϑ cos ϕ
⃗r = ⎝ r sin ϑ sin ϕ ⎠
r cos ϑ
ergibt sich
⎛ ⎞
sin ϑ cos ϕ
∂⃗r
∂r = ⎝ sin ϑ sin ϕ ⎠
cos ϑ
mit
∂⃗r
∣∂r
∣
√sin = 2 ϑ cos 2 ϕ + sin 2 ϑ sin 2 ϕ + cos 2 ϑ =
und damit für den Einheitsvektor in radialer Richtung
⎛ ⎞
sin ϑ cos ϕ
⃗e r = ⎝ sin ϑ sin ϕ ⎠ .
cos ϑ
√
sin 2 ϑ + cos 2 ϑ = 1
Zwischenrechnung 19 Verifizieren Sie ebenso die in (1.2) gegebenen Ausdrücke für die
Einheitsvektoren ⃗e ϕ und ⃗e ϑ .
§ 608 Auch diese Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal, d.h. es ist ⃗e i ·⃗e j = 0 für i ≠ j.
Für das Linienelement gilt
d⃗r = dr ⃗e r + r dϑ ⃗e ϑ + r sin ϑ dϕ ⃗e ϕ .
Die Längenelemente dr und r dϑ können wir uns entsprechend denen in Polarkoordinaten
klar machen; das Linienelement r sin ϑ dϕ berücksichtigt, dass sich die Linie nicht im Abstand
r von der Achse befindet, um die der Winkel ϕ gezählt wird, sondern nur im Abstand
r sin ϑ: mit zunehmender Breite wird dieses Linienelement (oder die Länge eines Breitengrades
zwischen zwei benachbarten Längengraden) immer kleiner. Damit ergibt sich für das
Volumenelement
dV = [dr⃗e r rdϕ⃗e ϕ r sin ϑdϑ⃗e ϑ ] = r 2 sin ϑ dr dϑ dϕ . (4.19)
Abbildung 4.14 veranschaulicht dieses Volumenelement.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007