Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

200 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
da man keine Null Schafe zählen konnte. Aus gleichem Grund waren natürliche Zahlen lange
Zeit für praktische Anwendungen ausreichend:
2 Schafe + 3 Schafe = 5 Schafe .
Auch die Umkehroperation, die Subtraktion, bereitete keine so lange keine Probleme, wie sie
an reale Objekte gekoppelt war: von drei Schafen lassen sich maximal drei Schafe wegnehmen.
In diesem Fall braucht man nicht mehr zu zählen, da keine Schafe da sind.
§ 768 Buchführung macht alles etwas schwieriger. So musste plötzlich ein Bauer von seinen
fünf Schafen auf Grund einer vergessenen Verpflichtung gegenüber seinem Landesherrn sieben
Schafe abliefern. Damit die Schuld des fehlenden Schafes nicht in Vergessenheit geriet, wurde
die Menge der ganzen Zahlen Z eingeführt. Damit ließ sich die Operation
5 Schafe − 7 Schafe = −2 Schafe .
zwar nicht physikalisch durchführen, aber die Buchführung funktionierte:
5 − 7 = −2 .
§ 769 Die Witwe eines anderen Bauern stand vor dem Problem, das fünf Schafe umfassende
Erbe gleichmäßig auf die drei Töchter zu verteilen. Zumindest auf dem Papier ließ sich dies
durch Einführung der rationalen Zahlen Q leicht lösen:
5 Schafe : 3 Töchter = 5 Schafe
3 Töchter = 1 2 3
Schaf
Tochter .
§ 770 Für Buchführung, Steuer, öffentliche Verwaltung und ähnliche Kulturerrungenschaften
sind diese drei Systeme ausreichend. Die Erfordernis der reellen Zahlen entwickelte sich in
der Antike aus geometrischen Betrachtungen. So führt die recht einfache Frage nach dem
Verhältnis zwischen dem Umfang U eines Kreises und seinem Durchmesser D nicht mehr auf
eine rationale Zahl sondern eine transzendente Zahl R:
Umfang des Kreises
Durchmesser des Kreises = U D = π .
Ein anderes geometrisches Problem betrifft die Länge x der Diagonalen eines Einheitsquadrats
oder formal die Lösung der Gleichung x 2 = 2:
x = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Das Ergebnis ist eine algebraische Zahl. Beide, algebraische und transzendente Zahlen werden
mit den rationalen Zahlen zur Menge R der reellen Zahlen zusammen gefasst. 1
§ 771 Alle bisher betrachteten Zahlenräume lassen sich graphisch auf einem Zahlenstrahl
darstellen. Dieser gibt eindeutig die Relation zwischen zwei reellen Zahlen: die erste kann
kleiner, größer oder gleich der zweiten sein.
§ 772 Pickt man zufällig eine Zahl aus diesem Zahlenstrahl, so wird dies praktisch immer
eine transzendente Zahl sein: zwar gibt es unendlich viele natürliche Zahlen, ebenso unendlich
viele ganze, rationale und algebraische Zahlen. Zwischen zwei benachbarten algebraischen
Zahlen liegen jedoch stets unendlich viele transzendente Zahl – den Beweis können Sie z.B.
in [23] nachvollziehen.
§ 773 Die Erweiterung unseres Zahlenraums auf reelle Zahlen erlaubt z.B. die Behandlung
einer quadratischen Gleichung wie x 2 − 4x − 29 = 0 mit den Lösungen
x 2 − 4x − 29 = 0 ⇔ x 1,2 = 2 ± √ 4 + 29 = 2 ± √ 33 .
Vertauschen wir im letzten Term das Vorzeichen, so erhalten wir die Gleichung x 2 −4x+29 =
0. Die Lösungen
x 2 − 4x + 29 = 0 ⇒ x 1,2 = 2 ± √ 4 − 29 = 2 ± √ −25 (6.1)
1 Eine algebraische Zahl ist jede Zahl, die die Lösung eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist.
Eine transzendente Zahl dagegen ist jede reelle Zahl, die nicht algebraisch ist.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode