Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

308 KAPITEL 8. MATRIZEN
Abbildung 8.2: Bezugssysteme: ein Problem orientiertes Bezugssystem (rot) muss nicht
mit einem zum Vergleich mehrerer Bohrungen geeigneten ‘absoluten’ Bezugssystem
übereinstimmen
x 2 -Achse und drehen ihn anschließend um einen Winkel α gegen den Uhrzeigersinn (links),
so ergibt sich ein anderes Ergebnis, als wenn wir erst die Drehung und anschließend die
Spiegelung durchführen (rechts).
§ 1139 Die einfache Darstellung von Koordinatentransformationen ist in vielen Bereichen
der Physik hilfreich. Stellen Sie sich eine Horde Geophysiker vor, die an verschiedenen Stellen
der Erde jeweils Bohrkerne aus Gesteinen oder Sedimenten entnehmen, um daraus die
Entwicklung des Erdmagnetfeldes im Laufe der Erdgeschichte zu rekonstruieren. Da bei diesen
Untersuchungen nicht nur auf die Stärke sondern auch auf die Richtung des Magnetfeldes
zurück geschlossen werden soll, ist eine genaue Kenntnis der Ausrichtung und Lage der einzelnen
Bohrkerne für deren Kombination unerlässlich. Jede einzelne Gruppe im Feld dagegen
bevorzugt ein sehr individuelles Koordinatensystem: am einfachsten gelingt die Auswertung
der im Bohrkern enthaltenen Zeitreihe, wenn man den Kern senkrecht zu den Schichten
nimmt (als z-Achse, die in eine Zeitachse transformiert wird) und eine der räumlichen Achsen
parallel zu einer der Schichten orientiert (meist wie an der Oberfläche sichtbar), die
andere ebenfalls in der Schichtebene senkrecht zu dieser. In einem gut gefalteten Gestein wie
in Abb. 8.2 zeigt dabei die lokale z-Richtung nicht unbedingt in Richtung auf den Erdmittelpunkt
und ‘horizontalen’ Achsen sind weder horizontal noch haben sie einen Bezug zu einer
der uns gebräuchlichen räumlichen Achsen wie Nord–Süd- oder Ost–West-Richtung. Vor die
Kombination zum globalen Bild müssen die in ihren lokalen Bezugssystemenen vermessenen
Zeitserien der Magnetfeldvektoren der einzelnen Bohrkerne auf ein gemeinsames, im Erdnittelpunkt
fixiertes Bezugssystem transformiert werden. Diese Transformation enthält eine
Rotation und eine Translation und lässt sich mit Hilfe von Matrizen beschreiben.
§ 1140 Ein ähnliches Problem tritt auch auf wesentlich kleinerer räumlicher Zeitskala auf:
Sie vermessen einen Kristall im Labor. Haben Sie keine weiteren Informationen über den
Kristall, so werden Sie ihr räumliches Bezugssystem notwendigerweise erst einmal an der
Apparatur, z.B. dem Probenhalter, orientieren. Während der Messung erkennen Sie jedoch,
dass der Kristall Schichten hat und die Atome innerhalb der Schichten in einem Gitter angeordnet
sind. Das Bezugssystem, in dem die Beschreibung des Kristalls einfach wird, ist nicht
das des Probenhalters sondern dieses durch die Kristalleigenschaften definiert. Auch hier ist
eine Matrix beim Übergang vom einen auf das andere Bezugssystem hilfreich. Und da wir
schon den Begriff des Bezugssystems strapaziert haben: auch in der Relativitätstheorie wird
der Übergang zwischen zwei gegen einander bewegten Koordinaten- oder besser Bezugssystemen
durch eine Matrix beschrieben, siehe § 1272f. Aber auch so weltliche Dinge wie die
Ausrichtung eines Satelliten oder die Funktionsweise eines Roboterarms lassen sich mit Hilfe
von Matrizen einfach beschreiben, siehe Abschn. 8.5.
§ 1141 Eine spezielle Art von Transformation ist die Hauptachsentransformation: die Projektion
erfolgt auf bestimmte ausgezeichnete Achsen eines Systems. Wir werden als Beispiel
in Abschn. 8.4.3 den Trägheitstensor betrachten. In der Physik wird häufig nicht von einer
Hauptachsentransformation sondern von der Diagonalisierung der Matrix gesprochen. Mathematisch
ist eine Hauptachsentransformation ein Eigenwertproblem: die ausgezeichneten
Achsen des Systems werden mit Hilfe der Eigenvektoren der Matrix bestimmt.
8.1.3 Mathematische Aspekte, Teil 2
§ 1142 Wir haben lineare Gleichungssysteme als Motivation für die Einführung von Matrizen
verwendet. In Abschn. 1.6 sind wir linearen Gleichungssystemen im Zusammenhang mit
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode