Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

396 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
Rotation und Wirbelstärke
§ 1482 In einem Feld F ⃗ wird eine kleine rechteckige Kurve C mit den Kantenlängen 2∆x
und 2∆y um ⃗r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) betrachtet, vgl. Abb. 10.11. Die Zirkulation um diese Fläche
ist
∮
x 0+∆x ∫
⃗F · d⃗r = dx[F x (x, y 0 − ∆y, z 0 ) − F x (x, y 0 − ∆y, z 0 )]
C
x 0−∆x
y 0+∆y
+
∫
y 0−∆y
Taylor-Entwicklung des Integranden liefert
∮
C
⃗F · d⃗r = − ∂F x
∂y (˜x, y 0, z 0 )2∆y
dy[F y (x 0 + ∆x, y, z 0 ) − F y (x 0 − ∆x, y, z 0 )] .
∫
x 0+∆x
x 0−∆x
dx + ∂F y
∂x (x 0, ỹ, z 0 )2∆x
= − ∂F x
∂y (˜x, y 0, z 0 )4∆y∆x + ∂F y
∂x (x 0, ỹ, z 0 )4∆x∆y .
Im Grenzübergang ∆ → 0 ergibt sich
∮
1
lim ⃗F · d⃗r = ∂F y
∆S→0 ∆A
∂x − ∂F (
x
∂y = rotF
⃗ )
C
z .
∫
y 0−∆y
y 0−∆y
Die Rotation oder Wirbelstärke ist gleich der Zirkulation längs der Randkurve O(∆S) einer
Fläche ⃗ S = ⃗nS im Grenzfall ⃗ S → 0.
Stokes’scher Integralsatz
Satz 25 Der Integralsatz von Stokes besagt, dass die Zirkulation eines Vektorfeldes F ⃗ entlang
der Umrandung C(A) einer Fläche S gleich dem Flächenintegral der Rotation des Feldes
über die Fläche ist:
∮ ∫
⃗F · d⃗r = rotF ⃗ · dS ⃗ . (10.22)
C(S)
S
§ 1483 Anschaulich bedeutet dies: alles was an Wirbeln innerhalb der geschlossenen Fläche
entsteht (beschrieben durch die Rotation oder Wirbelstärke) addiert sich zu einer Gesamtzirkulation
entlang der Umrandung. Dieser Zusammenhang ist erstaunlich, da sich eine Umrandung
C durch unendlich viele verschiedene Oberflächen realisieren lässt, z.B. einfach die
Kreisfläche, eine Halbkugel oder ein Zylinder. Die Details dieser Fläche sind jedoch irrelevant,
da sich, wie beim Gauß’schen Integralsatz, die Beiträge an den Innengrenzen aufheben. Dazu
zerlegen wir die Fläche in Teilflächen:
∮
N∑
∮
⃗F · d⃗r = ⃗F · d⃗r .
C(S)
i=1
C(S)
Hierbei liefern die äußeren Umrandungen der Teilflächen die gleichen Beiträge wie bei der
Gesamtfläche, während sich die Beiträge der Trennlinien aufgrund des entgegengesetzten
Umlaufsinns aufheben. Im Grenzübergang ∆S i → 0 erhalten wir
∮
N∑
∮
N∑
∮
1
⃗F · d⃗r = lim ⃗F · d⃗r = lim
⃗F · d⃗r ∆S i
N→∞
N→∞ ∆S
i=1
i=1 i
C(S)
C(S)
C(S)
∫
= rotF ⃗ · dS ⃗ .
S
dy
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode