Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10 KAPITEL 1. VEKTOREN
Tabelle 1.1: Grad- und Bogenmaß für einige
Winkel
ϕ 30 ◦ 45 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 360 ◦
x π/6 π/4 π/2 π 2 π
Ebener Winkel: Bogenmaß
§ 70 Eine alternative Definition geht nicht von der Fläche sondern von der Bogenlänge aus,
die von den Schenkeln eines Winkels ϕ aus einem Einheitskreis geschnitten wird: die Länge
x dieses Bogenstücks im Verhältnis zum Gesamtumfang 2π des Einheitskreises ist ein Maß
für den Winkel, siehe Abb. 1.5. Diese Größe wird als Bogenmaß bezeichnet, formal definiert
als:
Definition 5 Das Bogenmaß x eines Winkels ϕ ist die Länge des Bogens, der dem Winkel
ϕ im Einheitskreis gegenüber liegt.
§ 71 Bei einem Kreis mit beliebigem Radius ergibt sich der Winkel ϕ im Bogenmaß als
ϕ = Bogenlänge = b Radius r .
Das Bogenmaß ist gemäß Definition eine dimensionslose Größe; die Einheit Radiant ist eine
willkürliche Hilfsgröße und sollte weggelassen werden. 6
§ 72 Da das Bogenmaß auf den Umfang des Einheitskreises bezogen ist, nimmt ein Winkel
im Bogenmaß Werte zwischen 0 und 2π an. Die Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß
erfordert nur, dass wir uns merken, dass (a) jeweils das Verhältnis zum Vollkreis gebildet
wird und (b) dass der Bezugswert für den Vollkreis im Bogenmaß 2π, im Gradmaß jedoch
360 ◦ beträgt. Mit ϕ grad als Winkel im Gradmaß und ϕ als Winkel im Bogenmaß ergibt sich
daraus für die Umrechnung
ϕ grad = 360◦
2π
ϕ bzw. ϕ =
2π 360 ◦ ϕ grad .
Werte für wichtige Winkel sind in Tabelle 1.1 gegeben; für ϕ = 1 (rad) ergibt sich 1 (rad) ∼ =
360 ◦
2π
= 57◦ 17 ′ 45 ′′ , d.h. 1 rad gibt den Winkel, unter dem die Bogenlänge eines Einheitskreises
genau 1 ist.
§ 73 Mathematisch ist die Darstellung von Winkeln im Bogenmaß sinnvoll, da das Bogenmaß
sich formal und nicht nur anschaulich definieren lässt (vgl. Abschn. 3.4.2). Außerdem sind
Manipulationen der Winkelfunktionen, wie z.B. die in Abb. 2.7 beschriebene Entwicklung
einer Winkelfunktion in eine Potenzreihe nur dann möglich, wenn der Winkel im Bogenmaß
angegeben wird.
§ 74 Auch für physikalische Anwendungen ist die Angabe eines Winkels im Bogenmaß sinnvoll,
z.B bei der Betrachtung einer Kreisbewegung wie in Abb. 1.5. Sind die beiden markierten
Karussell-Pferdchen gleich schnell oder nicht? Natürlich sind sie es und sind sie es auch nicht:
sie sind gleich schnell, wenn man den zurück gelegten Winkel ϕ betrachtet; aber das äußere
Pferdchen legt in der gleichen Zeit einen größeren Bogen x a zurück als das innere (x i ), ist also
schneller. Beide, zurück gelegter Winkel und dabei zurück gelegter Weg, stehen bei Angabe
des Winkels im Bogenmaß gemäß Def. 5 in einfacher Beziehung:
x a = r a ϕ und x i = r i ϕ .
Für die Geschwindigkeiten gilt entsprechend
v a = r a ω und v i = r i ω
mit ω = dϕ/dt als der räumlich und zeitlich konstanten Winkelgeschwindigkeit.
6 Hätte ein Winkel ϕ eine Einheit, so müsste es auch eine Vorschrift dafür geben, wie eine Winkelfunktion
mit dieser Einheit umgeht, d.h. es müsste z.B. den Sinus der Einheit geben. Aus der geometrischen Definition
der Winkelfunktionen als Verhältnis von Seitenlängen ergibt sich jedoch eine dimensionslose Größe, d.h. sin ϕ
hat keine Einheit und damit hat ϕ auch keine.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode