Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

254 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Satz 17 Ist x 0 ein gewöhnlicher Punkt von ẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0 so lässt sich diese DGL
durch zwei linear unabhängige Potenzreihen lösen:
x(t) = c 1
∞ ∑
n=0
a n (x − x 0 ) + c 2
∞ ∑
n=0
7.6.3 Ein Wort der Vorsicht
b n (x − x 0 ) .
§ 961 Die Lösung mit Hilfe einer Potenzreihenentwicklung erscheint manchmal als das ultimative
Tool zur Behandlung einer DGL. Auch wenn das Verfahren in vielen Situationen
erfolgreich ist (z.B. Bessel-Funktionen in Abschn. 7.7.3), ist es trotzdem keine Wunderwaffe.
Die Nachteile des Verfahrens lassen sich zusammen fassen als:
• Taylor Entwicklung der Lösung muss möglich sein, d.h. in dem Punkt, um den entwickelt
wird, müssen alle Ableitungen der Lösungsfunktion existieren und endlich sein.
• Das Verfahren liefert manchmal nur eine der Lösungen der homogenen DGL. Die zweite
muss anders gefunden werden.
• Im Fall nicht-linearer Gleichungen ist die Reihenentwicklung ebenfalls nicht hilfreich, da die
Koeffizienten a n der Potenzreihenentwicklung hoffnungslos mit einander durch Produkte
verknüpft werden.
7.7 Mathematische Ergänzung
§ 962 Aus mathematischer Sicht sind Differentialgleichungen eine fast zwangsläufige Konsequenz
der Konzepte von Differentiation und Integration. Die Beschäftigung mit DGLs in
der Mathematik ist stark durch die Physik motiviert worden, insbesondere durch das zweite
Newton’sche Axiom.
§ 963 Der Zusammenhang zwischen der Lösung einer DGL und der Integration wurde gerade
an diesem Beispiel offenbar:
⎛
⎞
d 2 x F (t, x)
= ⇒
dx ∫t
∫t
∫
dt2 m(t) dt = F (t, x)
t
m(t) dt ⇒ x(t) = ⎝
F (t, x)
m(t) dt ⎠ dt .
t 0 t 0
Bei der Lösung einer DGL erster Ordnung durch Separation der Variablen ist dieser Zusammenhang
ebenfalls offensichtlich; bei anderen Lösungsverfahren wie dem Exponentialansatz
dagegen nicht.
§ 964 Zwei wichtige mathematische Gesichtspunkte wurden hier ohne weitere Begründung in
den Raum gestellt, das Superpositionsprinzip und das zweistufige Verfahren bei der Lösung
der inhomogenen DGL. Beide sollen in diesem ergänzenden Abschnitt genauer betrachtet
werden. Dazu werden wir uns auf die allgemeine lineare DGL zweiter Ordnung beschränken,
gegeben in der Form
D(x) = p(t)ẍ + q(t)ẋ + r(t)x = 0 . (7.27)
Darin sind p(t), q(t) und r(t) vorgegebenen Funktionen der unabhängigen Variablen t. Das
Symbol D(x) ist eine Abkürzung für die gesamte linke Seite der Gleichung; D wird als Differentialoperator
bezeichnet. Gesucht ist eine Funktion x(t), die D(x) = 0 erfüllt. Oder besser:
nicht eine Funktion, sondern alle Funktionen, die diese DGL erfüllen.
t 0
7.7.1 Vollständigkeit der Lösung
§ 965 Die DGL (7.27) ist linear. Bisher haben wir die Linearität damit beschrieben, dass in
der DGL weder höhere Potenzen von x noch Produkte aus x und einer seiner Ableitungen x (n)
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode