Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.6. ANWENDUNGSBEISPIELE 403
Aufgabe 215 A sei die Mantelfläche der Halbkugel x 2 + y 2 + z 2 = 4 mit z ≥ 0 und C
die kreisförmige Randkurve in der xy-Ebene. Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes
⃗F (x, y, z) = (−y 3 , yz 2 , y 2 z) durch diese Fläche mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.
Aufgabe 216 Gegeben ist ein Vektorfeld ⃗ F (r, ϑ, ϕ) = (r 2 cos ϕ) ⃗e ϑ . (a) Begründen Sie,
warum der Vektorfluss durch eine Kugelschale mit dem Radius R verschwindet (Kugelmittelpunkt
im Koordinatenursprung). (b) Bestätigen Sie diese Aussage mit Hilfe des Integralsatzes
von Stokes.
Aufgabe 217 Gegeben ist das Vektorfeld ⃗ F = (x 2 y, xy 2 ). Verifizieren Sie den Stokes’schen
Satz (a) entlang eines Kreises mit Radius a um den Ursprung und (b) entlang eines Rechtecks
vom Ursprung aus mit der Seitenlänge 2b parallel zur x-Achse und b parallel zur y-Achse.
Aufgabe 218 Gegeben ist ein Feld ⃗ F = x⃗e x +⃗e y +z⃗e z . Verifizieren Sie das Gauß’sche Gesetz
für eine Kegeloberfläche x 2 + y 2 = z 2 mit z = 1.
Mathematische Probleme
Aufgabe 219 Was soll man tun bei der Aufforderung, den Gradienten des Feldes ⃗ B × ⃗r zu
bestimmen?
Aufgabe 220 Jede Lösung A der Laplace’schen Differentialgleichung ∆A = 0 erzeugt ein
Vektorfeld ∇A, das sowohl Quellen- als auch wirbelfrei ist. Beweis? Beispiel?
Aufgabe 221 Seien ⃗ A und ⃗ B quellen- und wirbelfreie Vektorfelder. Welche Quellen und
welche Wirbel hat ⃗ A × ⃗ B?
Aufgabe 222 Zeigen Sie, dass (??) gilt.
Aufgabe 223 Zeigen Sie, dass (??) gilt.
Aufgabe 224 Leiten Sie die Ausdrücke (4.8) und (4.7) für den Gradienten in Zylinder- und
Kugelkoordinaten her.
Aufgabe 225 Leiten Sie die Ausdrücke (10.4) und (10.3) für die Divergenz in Zylinder- und
Kugelkoordinaten her.
Aufgabe 226 Leiten Sie die Ausdrücke (10.8) und (10.7) für den Laplace-Operator in Zylinderund
Kugelkoordinaten her.
Aufgabe 227 Leiten Sie die Ausdrücke (10.12) und (10.11) für die Rotation in Zylinderund
Kugelkoordinaten her.
Aufgabe 228 Ist ein Vektorfeld ⃗ F als Rotation eines weiteren Vektorfeldes ⃗ E darstellbar,
⃗F = rot ⃗ E, so verschwindet das Oberflächenintegral von ⃗ F für jede geschlossene Fläche:
∮
( ⃗ F · ⃗n) · dA =
∮ ⃗F · d ⃗ A =
∮
(rot ⃗ E) · d ⃗ A = 0. Beweisen Sie diese Aussage mit Hilfe des
Gauß’schen Integralsatzes.
Physikalische Anwendungen
Aufgabe 229 Gegeben ist ein kugelsymmetrisches Vektorfeld ⃗ A(⃗r) = γ⃗r/r 3 (z.B. Gravitationsfeld).
Skizzieren Sie das Feld in der xy-Ebene, ebenso wie den Betrag des Feldes in
Abhängigkeit vom radialen Abstand. Bestimmen Sie Rotation und Divergenz dieses Feldes.
Aufgabe 230 Die Quellen des Feldes ⃗ A × ⃗ B sind durch die Wirbel der einzelnen Felder ⃗ A
und ⃗ B bestimmt. Wie?
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007