Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

62 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
• Näherungen für Funktionen sind möglich. Damit lässt sich z.B. formal begründen, warum in
der Physik beim Fadenpendel der Sinus des Auslenkungswinkels durch den Winkel ersetzt
werden kann (und abschätzen, bis zu welchen Winkeln dies zulässig ist).
• die Potenzreihenentwicklung erlaubt es, den Zusammenhang zwischen verschiedenen transzendenten
Funktionen herzustellen, ein Beispiel ist die Euler Formel (6.8), die die Winkelfunktionen
Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion verknüpft.
2.4.1 Potenzreihen
§ 253 Potenzreihen lassen sich durch allgemeine Potenzen von x darstellen. Ein Glied einer
solchen Potenzreihe hat die Form a n (x − x 0 ) n . Damit lässt sich eine Potenzreihe wie folgt
definieren:
Definition 22 Potenzreihen sind unendliche Reihen der Form
S(x) = a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 ) 2 + a 3 (x − x 0 ) 3 + . . .
=
∞∑
∞∑
a 0 + a i (x − x 0 ) i = a i (x − x 0 ) i .
i=1
Ein einfacher Spezialfall ist die Potenzreihe um x 0 = 0:
∞∑
∞∑
S(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... = a 0 + a i x i = a i x i .
i=0
§ 254 Ob eine Potenzreihe konvergiert und wenn ja, gegen welchen Wert, hängt von der
Variablen x ab. Ist Konvergenz gegeben, so sagt man ‘Die Potenzreihe konvergiert gegen die
Funktion S(x)’ oder ‘Die Funktion S(x) kann durch eine Potenzreihe dargestellt werden.’
Satz 6 Konvergiert eine Potenzreihe ∑ ∞
i=0 a ix i für ein beliebiges, von Null verschiedenes
x = x 0 , so konvergiert die Reihe absolut für jedes beliebige x mit |x| < |x 0 |.
§ 255 Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich ein sehr hilfreiches Konzept, der Konvergenzbereich
oder Konvergenzradius, 3 einführen. Wir gehen davon aus, dass die Potenzreihe irgendwo
divergent ist. Für x = 0 dagegen ist sie in jedem Fall konvergent. Also muss es ein größtes x 0
geben, für das die Potenzreihe noch konvergiert. Dieses x 0 definiert den Konvergenzradius
x 0 oder Konvergenzbereich [−x 0 , x 0 ]. Die Potenzreihe konvergiert dann an jedem Punkt
innerhalb des Konvergenzradius bzw. des Konvergenzgebietes absolut.
§ 256 Der Konvergenzradius lässt sich mit Hilfe des Quotienten-Tests bestimmen:
∣ ∣ { lim
a n+1 x n+1 ∣∣∣ n→∞ ∣ a n x n = lim
a n+1 ∣∣∣ < 1 konvergent
n→∞ ∣ |x| = 1 ?
.
a n
> 1 divergent
Da der Quotient | an+1
a n
| nicht von x abhängt, lässt sich mit seiner Hilfe der Konvergenzradius
R definieren als:
∣
1
R = lim
a n+1 ∣∣∣
n→∞ ∣ a n
unter der Voraussetzung, dass der geforderte Grenzwert existiert und positiv ist. Für einen
verschwindenden Quotienten wird der Konvergenzradius als R = ∞ definiert, d.h. die Reihe
konvergiert unabhängig vom gewählten x.
§ 257 Konvergente Potenzreihen können wie Funktionen behandelt werden. Insbesondere
gelten die folgenden Rechenregeln:
3 Die Bezeichnung Konvergenzbereich ist nicht sehr gebräuchlich. Für eine Funktion in R ist die Bezeichnung
sinnvoll. Die gebräuchlichere Bezeichnung Konvergenzradius stammt daher, dass Satz 6 auch für komplexe
Reihen gilt und dort der Konvergenzbereich als Kreis um z 0 in der komplexen Ebene dargestellt wird.
Ich werde die Begriffe austauschbar verwenden.
i=1
i=0
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode