Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.3. ELEMENTARES INTEGRIEREN 529
Abbildung C.4: Das bestimmte
Integral kann als Fläche unter
dem Funktionsgraphen interpretiert
werden
Beispiel 18 Die finanzielle Bilanz einer Wärmedämmaßnahme ergibt sich aus dem
eingesparten Heizgeld und den Kosten für die Dämmaßnahme. Die Heizkosten sinken
proportional zu e −ax mit x als der Dicke der Dämmschicht und a als einer Art Kostensparfaktor,
der von der Art der verwendeten Dämmung abhängig ist. Die Kosten
für die Dämmung sind proportional zu cx mit c als dem Preis pro Dämm-cm und x
wieder als der Dicke der Dämmschicht. Was ist die optimale Dämmschichtdicke x?
Diese Aufgabe unterscheidet sich etwas von den beiden vorangegangenen Beispielen,
da wir keine Nebenbedingung haben, sondern die Zielfunktion ‘minimale Kosten’
direkt in Abhängigkeit von der Dämmschichtdicke x aufstellen können. Die Gesamtkosten
sind die Summe der Heizkosten und der Kosten der Dämmaßnahme:
K(x) = H o · e −ax + cx .
Darin sind H o die Heizkosten ohne Dämmung und H o·e −ax die niedrigeren Heizkosten
nach erfolgter Dämmung sowie cx die Kosten für die Dämmung. Diese Funktion ist
zu minimieren. Die beiden Ableitungen sind
K ′ (x) = −aH o · e −ax + c und K ′′ (x) = a 2 H o · e −ax .
Nullsetzen der ersten Ableitung liefert für die optimale Dämmschichtdicke
c = aH o · e −ax ⇒ e −ax = c
aH o
⇒ x = − 1 a ln c
aH o
.
Für diese Dämmschichtdicke werden die Gesamtkosten K tatsächlich minimal, da die
zweite Ableitung stets größer Null ist.
✷
C.3 Elementares Integrieren
§ 1880 Integrieren ist gleichbedeutend mit aufleiten, eine Ableitung rückgängig machen oder
zu einer Funktion eine Stammfunktion zu finden.
C.3.1
Wozu?
§ 1881 Integrale gibt es in zwei Formen, als bestimmtes und als unbestimmtes Integral. Das
bestimmte Integral grift die ursprüngliche Idee der Integration auf, nämlich die Bestimmung
der Fläche zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen in einem Intervall zwischen
x = a und x = b, oder kurz im Intervall [a, b]. Anschaulich ist dies in Abb. C.4 gezeigt.
Formal schreiben wir ein bestimmtes Integral in der Form
∫ b
a
f(x) dx .
Darin ist f(x) die zu integrierende Funktion, auch als Integrand bezeichnet. a und b sind die
Integrationsgrenzen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007