Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.3. WICHTIGE FUNKTIONEN IN DER PHYSIK 93
0 ◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ Tabelle 3.1:
0 π/6 π/4 π/3 π/2
Wichtige Werte
einiger Winkelfunktionen
1
sin 0
2 = 0.5 √
2
2 = √ 1
√
2
= 0.71 3
2 = 0.87 1
√
cos 1
3
2 = 0.87 √
2
2 = 0.71 1
2 = 0.5 0
√
tan 0 3
3 = √
√ 1
3
= 0.58 1
3 = 1.73 ∞
2
sec 1 √ √
3
3
2 2 ∞
√
cosec ∞ 2
2
2 √ 3
3
1
√ √
cot ∞ 3 = 1.73 1 3
3 = 0.58 0
sin α cos α tan α cot α
√
sin α = - 1 −
tan α
cos2 α √
√ 1+tan 2 α
cos α = 1 − sin 2 1
α -
tan α =
cot α =
√
√
sin α
1−sin 2 α
1−sin 2 α
sin α
1 √
1+cot 2 α
cot α √
1+cot2 α
√
√ 1+tan2 α
1−cos 2 α
1
cos α
-
cot α
cos α √
1−cos2 α
1
tan α
-
Tabelle 3.2: Umwandlung
einer Winkelfunktion
in eine andere
3.3.3 Hyperbolische Funktionen
§ 376 Während die trigonometrischen Funktionen durch den Schnitt einer Geraden mit dem
Kreis x 2 + y 2 = 1 erzeugt werden, entstehen die hyperbolischen Funktionen durch Schnitte
einer Geraden mit Hyperbelästen, vgl. Abb. 3.8. Der Parameter der hyperbolischen Funktionen
ist die von den Geraden g und −g und der Einheitshyperbel x 2 − y 2 = 1 eingeschlossene
Fläche A. Die Funktionen Sinus Hyperbolicus sinh, Kosinus Hyperbolicus cosh und Tangens
Hyperbolicus tanh lassen sich geometrisch beschreiben als die y- bzw. x-Koordinate des
Schnittpunktes zwischen Gerade und Hyperbel sowie als die Geradensteigung.
§ 377 Die hyperbolischen Funktionen hängen zusammen gemäß
sinh 2 x = cosh 2 x − 1 und tanh x = sinh x
cosh x .
§ 378 Sie lassen sich mit Hilfe der Exponentialfunktion darstellen als
sinh x = ex − e −x
, cosh x = ex + e −x
und tanh x = ex − e −x
2
2
e x . (3.2)
+ e−x Die inversen hyperbolischen Funktionen sind die Areafunktionen. Sie lassen sich unter Verwendung
von Logarithmen darstellen:
Arsinhx = ln(x + √ x 2 + 1) , Arcoshx = ln(x + √ x 2 − 1) und
Arctanhx = 1 2 ln 1 + x
1 − x . Abbildung 3.8: Hyperbolische Funktionen:
Definition über den Schnitt einer Geraden
mit einem Hyperbelast (links) und Verlauf
von sinh und cosh zusammen mit dem der e-
Funktion (rechts)
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007