Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

458 KAPITEL 12. STATISTIK
die erwarteten 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die einzigen Informationen über die wir verfügen, sind die
Beobachtung
6∑
kp k = k = 3.2 (12.19)
k=1
sowie die triviale Information, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ist:
6∑
p k = 1 . (12.20)
k=1
Damit haben wir zwei Gleichungen für sechs Unbekannte.
§ 1712 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nähern wir mit dem Prinzip der maximalen Unbestimmtheit
an: wir kennen die Zahl der Zustände und nehmen an, dass diese gleichverteilt
sind, die Entropie also maximal wird. Ferner müssen die Nebenbedingungen (12.19) und
(12.20) gelten.
§ 1713 Für die Verteilung machen wir einen Exponentialansatz
p k ∼ e −βx k
. (12.21)
Diese Verteilung muss normiert sein, d.h. die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss entsprechend
(12.20) 1 sein. Zur Normierung addieren wir die p k aus (12.21) und erhalten die
Zustandssumme
Z = ∑ k
e −βx k
und damit für die Wahrscheinlichkeitsverteilung
p k = 1 Z e−βx k
. (12.22)
Aus der zweiten Nebenbedingung, der Kenntnis des Mittelwerts, wird der Parameter β festgelegt
x = ∑ x k p k = 1 ∑
x k e −βx k
.
Z
k
k
§ 1714 Für diese Verteilung lässt sich zeigen, dass sie die Verteilung mit der größtmöglichen
Unbestimmtheit ist, z.B. [?]. Sie wird als Boltzmann-Verteilung bezeichnet.
§ 1715 Das Prinzip der maximalen Unbestimmtheit fordert, dass die Entropie maximal
wird, d.h. wir müssen zeigen, dass jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung {˜p 1 , ..., ˜p k },
die ∑ k x k ˜p k = x erfüllt, einen kleineren Wert von S ergibt als (12.22). Dazu verwenden wir
(12.18). Mit ˜S = S(˜p 1 , ..., ˜p k ) erhalten wir
0 ≤
∑
k
(12.22)
= − ˜S + ∑ k
˜p k ln ˜p k
p k
= ∑ k
˜p k ln ˜p k − ∑ k
˜p k ln p k
˜p k (ln Z + βx k ) = − ˜S + ln Z ∑ k
˜p k + β ∑ k
x k ˜p k
(12.18)
= − ˜S + ln Z ∑ k
p k + β ∑ k
x k p k = − ˜S + ∑ k
p k (ln Z + βx k )
= − ˜S − ∑ p k ln p k = − ˜S + S(p 1 , ..., p k ) ,
und damit
S(˜p 1 , ..., ˜p k ) ≤ S(p 1 , ..., p k ) .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode