Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

28 KAPITEL 1. VEKTOREN
Abbildung 1.16: Zum Beweis
des Satzes von Pythagoras
schreiben wir das Hypothenusenquadrat
c 2 in ein größeres
Quadrat ein, dessen Seiten
die Länge a + b haben, d.h.
die Summe der Längen der
Katheten
Dreieck, von dem wir ausgegangen sind. Ihre Fläche ist jeweils gleich der halben Fläche des
aus a und b gebildeten Rechtecks: F ∆ = 1 2ab. Die Gesamtfläche des großen Quadrates (a+b)2
setzt sich zusammen aus der Fläche c 2 des eingeschriebenen Quadrats und vier mal dieser
Dreiecksfläche:
(a + b) 2 = c 2 + 4 ( 1
2 ab) .
Auflösen des Binoms links liefert
a 2 + b 2 + 2ab = c 2 + 2ab
und damit den Satz des Pythagoras
a 2 + b 2 = c 2 .
§ 136 Die letzten Schritte waren einfache Algebra, d.h. ein geometrisches Problem lässt sich
algebraisch lösen; vorausgesetzt, es gelingt uns, wie oben eine algebraische Repräsentation
des Problems zu finden. Dazu benötigen wir eine algebraische Beschreibung geometrischer
Objekte wie Linien und Ebenen. Eine Einschränkung werden wir vornehmen: wir beschränken
uns auf gerade Linien und ebene Flächen, d.h. wir betrachten nur den Euklidischen Raum.
1.6.1 Geometrische Grundzutaten
§ 137 Die Suche nach einer algebraischen Repräsentation eines geometrischen Objekts kann
auf zwei Weisen erfolgen: ausgehend von dem geometrischen Objekt oder ausgehend von
einem algebraischen Ausdruck. Wir wählen den zweiten Ansatz. Eine typische algebraische
Gleichung ist x+4 = 9 als Bestimmungsgleichung für x. Diese Gleichung liefert eine eindeutige
Lösung x = 5. Geometrisch entspricht dies der Auswahl eines Punktes x = 5 auf dem durch
die reellen Zahlen R gebildeten Zahlenstrahl.
Lineare Gleichungen
§ 138 Eine lineare Gleichung der Form
3x + y = 12
dagegen legt nicht eine Zahl als Lösung fest sondern hat eine unendliche Lösungsmenge von
Zahlenpaaren
(x, y) = (λ, −3λ + 12) ∀λ ∈ R .
Diesen Lösungsraum können wir uns als unendlich ausgedehnte Gerade in der xy-Ebene
vorstellen. 11
11 Die Gleichung 3x + y = 12 lässt sich auch als die implizite Darstellung einer Funktion y(x) = −3x +
12 interpretieren. Da das eine lineare Funktion ist, stellt sie eine Gerade mit der Steigung -3 und dem
Achsenabschnitt 12 dar.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode