Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

298 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.29: Vergleich
aller in MatLab
implementierten Verfahren
zur Lösung einer
gewöhnlichen DGL am
Beispiel einer steifen
DGL
wir erreichen, in dem wir den ode-Funktionen zusätzliche Parameter übergeben, die die Genauigkeit
regulieren (siehe MatLab-Hilfe) – und damit aber auch die benötigte Rechenzeit
beeinflussen.
§ 1123 Die zur Lösung der einzelnen Verfahren in Abb. 7.29 benötigten Zeiten sind in der
mittleren Zeile der Tabelle gegeben, die Zeiten für die Lösung der Gleichung im Intervall
[0,100] mit gleicher Schrittweite im selbst gestrickten Runge–Kutta-Verfahren in der untersten
Zeile:
Funktion rungekutta ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23tb
Zeit t [ms] 50 30 20 90 80 80 81
Zeit t [ms] 551 70 80 130 91 120 100
Man erkennt deutlich, dass sich das selbst gestrickte Runge–Kutta-Verfahren seine hohe Genauigkeit
im langen Integrationsintervall durch eine kleine Schrittweite und damit verbunden
eine lange Laufzeit erkauft hat.
Ein simples GUI
dgl int
§ 1124 Das Skript dgl int enthält ein einfaches GUI, mit dem sich mit den verschiedenen
Verfahren zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung
spielen lässt. Als Eingabeparameter werden der Name der MatLab-Funktion benötigt, in der
die zu integrierende DGL definiert ist (als Default wieder dglinput), die Grenzen des Integrationsintervalls
sowie der Anfangswert. Über das Popup-Menü kann aus allen in MatLab
implementierten Solver sowie den vier selbst gestrickten Routinen ausgewählt werden, vgl.
Abb. 7.30. Als Lösung werden Vektoren t und x erzeugt; außerdem wird die sich ergebende
Funktion graphisch dargestellt. Aus der Dichte der Symbole lässt sich jeweils auf die Schrittweite
der Verfahren schließen: bei den MatLab-Solvern ist diese dem Problem angepasst,
bei den handgestrickten Funktionen wurde die Schrittzahl auf 40 festgesetzt (lässt sich aber
in der von dgl int benötigten Funktion setidglint bei Bedarf verändern).
Kontrollfragen
Kontrollfrage 27 Erklären Sie, was eine Differentialgleichung ist und wie man Differentialgleichungen
klassifiziert. Geben Sie physikalische Beispiele – überlegen Sie sich selbst etwas
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode