Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.5. DIFFERENTIATION VEKTORWERTIGER FUNKTIONEN 151
§ 601 Betrachten wir jetzt eine Bewegung in Polarkoordinaten. Die Einheitsvektoren ändern
sich mit dem Ort ⃗r. In Polarkoordinaten kann die Ortskurve ⃗r(t) durch die zeitliche Abhängigkeit
des Abstands vom Ursprung und die zeitliche Änderung des Einheitsvektors ⃗e r dargestellt
werden, d.h. der Ortsvektor kann als das Produkt aus einer (zeitlich variablen) Länge r(t)
und einer (zeitlich variablen) Richtung ⃗e r (t) geschrieben werden:
⃗r(t) = r(t) ⃗e r (t) .
Da ⃗e r von ϕ abhängt, ⃗e r = ⃗e r (ϕ), ergibt sich seine Änderung gemäß Kettenregel zu
˙⃗e r = d⃗e r
dt = d⃗e r
dϕ
dϕ
dt = ˙ϕ d⃗e r
dϕ
mit ˙ϕ = ˙ϕ(t) als der momentanen Winkelgeschwindigkeit. Die Ableitung d⃗e r /dϕ ergibt sich
aus (4.16) zu
d⃗e r
dϕ = d ( ) ( )
cos ϕ − sin ϕ
=
= ⃗e
dϕ sin ϕ cos ϕ ϕ .
Damit ergibt sich für die zeitliche Änderung des Einheitsvektors ⃗e r
˙⃗e r = ˙ϕ ⃗e ϕ ,
d.h. die Änderung erfolgt in Richtung von ⃗e ϕ (oder senkrecht zu ⃗e r ) und der Betrag wird
durch die zeitliche Änderung des Winkel, d.h. die Winkelgeschwindigkeit ω = ˙ϕ, gegeben.
§ 602 Für den Einheitsvektor ⃗e ϕ in azimuthaler Richtung ergibt eine entsprechende Rechnung
˙⃗e ϕ = d⃗e ϕ
dϕ
dϕ
dt = ˙ϕ d⃗e ϕ
dϕ = − ˙ϕ ⃗e r .
Eine allgemeine Bewegung ⃗r(t) in Polarkoordinaten wird damit
⃗v = ˙⃗r = d dt (r ⃗e r) = ṙ⃗e r + r˙⃗e r = ṙ⃗e r + r ˙ϕ⃗e ϕ = v r ⃗e r + v ϕ ⃗e ϕ
mit v r = ṙ als Radialgeschwindigkeit und v ϕ = ˙ϕr als Bahngeschwindigkeit in azimutaler
Richtung. Für die Beschleunigung ergibt sich entsprechend
⃗a = ¨⃗r = d dt (ṙ⃗e r + r ˙ϕ⃗e ϕ ) = (¨r − r ˙ϕ 2 )⃗e r + (r ¨ϕ + 2ṙ ˙ϕ)⃗e ϕ = a r ⃗e r + a ϕ ⃗e ϕ
mit a r = ¨r − r ˙ϕ 2 als Radial- und a ϕ = r ¨ϕ + 2ṙ ˙ϕ als Winkelbeschleunigung.
§ 603 Die Änderung d⃗r des Ortsvektors ⃗r, das Linienelement, ergibt sich als das totale
Differential der Funktion ⃗r(t) gemäß (4.10) zu
d⃗r = ∂⃗r ∂⃗r
dr +
∂r ∂ϕ dϕ = ⃗e rdr + r dϕ⃗e ϕ = ds r ⃗e r + ds ϕ ⃗e ϕ
mit den Längenelementen ds r = dr in radialer und ds ϕ = r dϕ in azimutaler Richtung. Da
⃗e r und ⃗e ϕ senkrecht aufeinander stehen, lässt sich mit Hilfe der beiden Längenelemente ein
Flächenelement definieren mit Betrag:
|d ⃗ A| = |ds r ⃗e r × ds ϕ ⃗e ϕ | = ds r ds ϕ = r dϕ dr (4.17)
Dieses Flächenelement können wir uns als ein durch den Bogen r dϕ und die Seite dr gebildete
Flächenstück r dϕ dr vorstellen, vgl. Abb. 4.13. Es wird uns bei der Integration noch häufiger
begegnen.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007