Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.2. FOLGEN 53
• eine einfache alternierende Folge:
a 1 = 1 , a 2 = −1 , a 3 = 1 , a 4 = −1 , . . . , a n = (−1) n+1 , . . . .
§ 212 Eine Folge wird durch drei Eigenschaften charakterisiert: Monotonie, Beschränktheit
und Konvergenz. Von diesen Eigenschaften ist die Monotonie die einfachste, die anderen
beiden kann man sich veranschaulichen, in dem man die Glieder der Folge auf die Ordinate
projiziert.
2.2.1 Monotonie
§ 213 Monotonie weckt die Assoziation mit Langeweile. Einige monotone Folgen sind in der
Tat langweilig, andere dagegen können recht spannend sein, insbesondere wenn es um die
Frage geht, ob die Folge konvergiert oder nicht. Die Monotonie oder Langeweile bezieht sich
auf das Änderungsverhalten der Glieder der Folge – bei einer Funktion entspräche dies der
Steigung. Wie bei Funktionen unterscheiden wir bei einer Folge vier Formen der Monotonie:
Definition 16 Eine Folge a n mit a ∈ R und n ∈ N heißt:
– streng monoton steigend wenn a n+1 > a n ∀n ∈ N,
– monoton steigend wenn a n+1 ≥ a n ∀n ∈ N,
– streng monoton fallend wenn a n+1 < a n ∀n ∈ N,
– monoton fallend wenn a n+1 ≤ a n ∀n ∈ N.
§ 214 Die Folge der natürlichen Zahlen ist streng monoton steigend, die harmonische Folge
dagegen streng monoton fallend. Die geometrische Folge ist streng monoton steigend für
q > 1, dagegen streng monoton fallen für q < 1. Für q = 1 ist sie wie im umgangssprachlichen
Sinne einfach nur monoton. Die alternierende Folge ist nicht monoton.
2.2.2 Beschränktheit
§ 215 Projizieren wir alle Glieder der Folge auf die Ordinate, so erhalten wir den Bereich von
Werten, die die Glieder der Folge annehmen können. Projizieren wir die alternierende Folge,
so werden nur zwei Werte, −1 und +1 angenommen, diese aber unendlich oft. Es werden
keine Werte größer +1 oder kleiner −1 angenommen, der Wertebereich der Folge ist also auf
den Bereich [−1, +1] beschränkt.
§ 216 Die Glieder der Folge der natürlichen Zahlen werden bei einer derartigen Projektion
auf die natürlichen Zahlen auf der Ordinate abgebildet. Diese Folge ist nach unten beschränkt,
da kein Glied der Folge einen Wert kleiner +1 annimmt. Nach oben ist diese Folge jedoch
nicht beschränkt.
§ 217 Diese anschauliche Beschreibung lässt sich in der folgenden Definition formalisieren:
Definition 17 Eine Folge a n mit a ∈ R und n ∈ N ist
– nach oben beschränkt, wenn es ein A ∈ R gibt, so dass a n ≤ A ∀n ∈ N,
– nach unten beschränkt, wenn es ein A ∈ R gibt, so dass a n ≥ A ∀n ∈ N.
§ 218 Nimmt ein Glied der Folge den Wert A dieser oberen Schranke an, so ist A gleichzeitig
das Maximum der Folge. Entsprechendes gilt für die untere Schranke und das Minimum.
2.2.3 Grenzwert und Konvergenz
§ 219 Der Begriff des Grenzwerts lässt sich ebenfalls mit Hilfe einer Projektion der Werte
der Folgenglieder auf die Ordinate veranschaulichen. Dabei wird aber nicht die Größe oder Beschränkheit
des Wertebereichs der Folgenglieder betrachtet sondern ihre Häufigkeitsverteilung.
Betrachten wir dazu die harmonische Folge. Diese ist nach oben beschränkt durch +1 (gleichzeitig
das Maximum der Folge) und nach unten durch die Null, da kein Glied der Folge
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007