Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

3.3. WICHTIGE FUNKTIONEN IN DER PHYSIK 91
Abbildung 3.6: Exponentialfunktion
(links) und natürlicher Logarithmus
(rechts)
ist die Konstante a ∈ R die Basis und die Variable x ∈ R der Exponent. Spezialfälle ergeben
sich für die Basis 10 als f(x) = 10 x und für die Basis e (Euler Zahl) zu f(x) = e x . Jede
Exponentialfunktion ist streng monoton. Ist die Basis größer 1, so ist die Funktion streng
monoton wachsend, vgl. Abb. 3.6. Ist die Basis dagegen zwischen 0 und 1, so ist die Funktion
streng monoton fallend. Die Exponentialfunktion wächst schneller als jedes beliebige Polynom
in x; sie geht durch den Punkt (0,1) und nähert sich für a > 1 asymptotisch der negativen
x-Achse an, für 0 < a < 1 asymptotisch der positiven.
§ 364 Alle Exponentialfunktionen zur beliebigen Basis a lassen sich in eine auf der Euler
Zahl basierende Darstellungsform umwandeln:
a x = (e ln a ) x = e x ln a = e ln ax .
Für die Umwandlung von einer Basis a zu einer Basis b gilt entsprechend
f(x) = a x = (b log b a ) x = b x log b a = b log b ax .
§ 365 Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist der Logarithmus. Zu verschiedenen
Basen der Exponentialfunktion gibt es verschiedene Logarithmen. Diese werden abgekürzt
als log a , gesprochen ’
Logarithmus zur Basis a‘. Die verschiedenen Exponentialfunktionen mit
ihren Logarithmen sind
f(x) = a x log a f(x) = x
f(x) = 10 x log 10 f(x) = log f(x) = x dekadischer Logarithmus
f(x) = e x log e f(x) = ln f(x) = x natürlicher Logarithmus
§ 366 Der dekadische Logarithmus wird häufig in der logarithmischen Darstellung von Daten,
die einen weiten Größenbereich umspannen, verwendet. So sind einige Größen wie der
pH-Wert auf einer logarithmischen Skala definiert.
§ 367 Der Logarithmus stellt graphisch die an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten
gespiegelte Exponentialfunktion dar. Er geht daher durch den Punkt (1,0). Der Logarithmus
wächst langsamer als jede beliebige Potenz von x. Da die Exponentialfunktion nur Werte
größer Null annimmt, ist der Logarithmus nur für Werte größer Null definiert, vgl. rechtes
Teilbild in Abb. 3.6. Für a > 1 wächst der Logarithmus von −∞ bis +∞, für 0 < a < 1 fällt
er monoton von +∞ auf −∞.
§ 368 Wie die Exponentialfunktion lässt sich auch der Logarithmus jeweils von einer Basis
zur anderen umformen
f(x) = log a x = log b x
log b a .
Zwischenrechnung 12 Leiten Sie diesen Zusammenhang her; lassen Sie sich eventuell von
§ 364 inspirieren.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007