Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

94 KAPITEL 3. FUNKTIONEN
Abbildung 3.9: Signum-Funktion am Beispiel
von sgn(x) (links), x sgn(x) (Mitte)
und sgn(x 2 − 1)
1
y y y
1
1
x x x
−1
−1
−1
§ 379 In der komplexen Eben können hyperbolische und trigonometrische Funktionen als
gleichartige Funktionen dargestellt werden, die sich bei Verwendung imaginärer Argumente
ineinander überführen lassen. Dieser Zusammenhang wird bei der Verwendung komplexer
Zahlen und der Euler Formel (6.8) deutlicher werden, siehe auch § 797.
3.3.4 Signum Funktion
§ 380 Die Signum Funktion sgn ist hilfreich bei der Definition von Funktionen mit Diskontinuitäten
im Betrag oder in der Steigung, vgl. Abb. 3.9. Sie wertet das Vorzeichen des
Funktionswerts aus: für negative Funktionswerte wird sgn gleich -1, für positive gleich +1.
Formal kann die Signum-Funktion mit Hilfe der Sprungfunktion (9.9) definiert werden als
{ −1 falls x < 0
sgn(x) = H(x) − H(−x) = 0 falls x = 0 . (3.3)
1 falls x > 0
3.4 Mathematische Ergänzung
§ 381 Die bisher verwendeten Begriffe zur Beschreibung von Funktionen sind im Kap. 2
hinreichend genau mathematisch untermauert worden. In der mathematischen Ergänzung
dieses Kapitels werden einige transzendente Funktionen mathematisch sauber eingeführt.
Dadurch lassen sich verschiedene scheinbare Ausnahmen in der Analysis verstehen, z.B. dass
die Stammfunktion von x −1 keine Potenz ist sondern zur Definition des natürlichen Logarithmus
verwendet werden kann und warum Integrale der Form ∫ √ α ± x 2 dx eine große Affinität
zu Winkelfunktionen haben.
3.4.1 Logarithmus und Exponentialfunktion mathematisch gesehen
§ 382 Die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung, der natürliche Logarithmus, sind zwei
der wichtigsten Funktionen der Analysis; auch in der Physik spielt die Exponentialfunktion
eine wichtige Rolle. In den meisten Anwendungsorientierten Texten werden beide Funktionen
einfach in den Raum gestellt und ihre Eigenschaften vorgestellt – so wie auch in Abschn. 3.3.1.
In diesem Abschnitt werden die beiden Funktionen genauer betrachtet. Dadurch werden die
Eigenschaften beider Funktionen und die Reihenentwicklungen derselben besser verständlich.
Natürlicher Logarithmus
§ 383 Beginnen wir mit einer einfachen Ableitungsregel: dx n /dx = n x n−1 oder in tabellarischer
Form
n . . . -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 . . .
dx n /dx . . . −4x −5 −3x −4 −2x −3 −x −2 0 x 0 2x 1 3x 2 4x 3 . . .
Ein Blick auf die Liste zeigt, dass es keinen Ausdruck gibt, der differenziert x −1 ergibt, obwohl
alle anderen Potenzen x n mit n ∈ Z auf diese Weise erzeugt werden können.
§ 384 Eine Ableitung beschreibt die Steigung der Stammfunktion. Die Funktion x −1 ist,
zumindest für x ≠ 0, eine stetige und differenzierbare Funktion. Daher ist sie auch geeignet,
die Steigung einer anderen Funktion zu beschreiben, d.h. es gibt keinen Grund, warum x −1
keine Stammfunktion haben sollte. Im Gegenteil, aus unserer Kenntnis des Verlaufs von x −1
können wir sogar diese Stammfunktion konstruieren.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode