Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.8. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER PHYSIK 269
§ 1013 Ein additiver Term ergibt sich auch bei der gradlinigen Bewegung mit Reibung wenn
diese als Fall erfolgt: hier ist die konstante Gravitationskraft −mg die additive Konstante.
Auch hier beschränken wir uns auf Stokes’sche Reibung: eine Masse m fällt mit einer Anfangsgeschwindigkeit
v 0 im Schwerefeld der Erde senkrecht nach unten. Als verzögernde Kraft
wirkt eine Reibungskraft der Form −βv. Die Situation unterscheidet sich von der in § 1009
betrachteten horizontalen Bewegung mit Reibung dadurch, dass auf der rechten Seite der
Bewegungsgleichung zusätzlich ein konstanter Term, die nach unten gerichtete Gewichtskraft
−mg, auftritt. Die Bewegungsgleichung ist 9
m ˙v = −mg − βv .
Separation der Variablen liefert
m dv
mg + βv = −dt .
Mit der Substitution u = mg + βv wird du = βdv und es ergibt sich
m
β
∫ v
v 0
∫t
du
u = −
t 0
dt .
Hier bestimmen wir nicht erst die allgemeine Lösung und dann die Integrationskonstanten aus
den Anfangsbedingungen sondern nutzen die Anfangsbedingungen als Integrationsgrenzen.
Integration und Re-Substitution liefern
( )
m mg + βv
β ln = −(t − t 0 ) .
mg + βv 0
Anwendung der Exponentialfunktion liefert
{
mg + βv
= exp − β }
mg + βv 0 m (t − t 0)
und damit für die Geschwindigkeit
v(t) = − mg ( ) {
mg
β
+ β + v 0 exp − β }
m (t − t 0) .
Mit zunehmender Zeit wird der zweite Summand auf Grund der abfallenden Exponentialfunktion
immer kleiner und die Geschwindigkeit strebt gegen einen Grenzwert v ∞ = −mg/β.
Anschaulich ist dann die abwärts beschleunigende Kraft −mg gleich der verzögernden Kraft
βv, d.h. durch Gleichsetzen der beiden Kräfte erhalten wir ebenfalls v ∞ = −mg/β.
§ 1014 Interessiert nur dieser Grenzwert, so ist die Lösung der Bewegungsgleichung einfach.
Da sich die Geschwindigkeit im stationären Fall nicht ändert, verschwindet der Term
˙v in und die Bewegungsgleichung reduziert sich auf das auch anschaulich zu begründende
Kräftegleichgewicht.
Ein nicht-lineares Beispiel
§ 1015 Den Fall mit Stokes’scher Reibung im Schwerefeld haben wir bereits betrachtet. Die
sich dort ergebende DGL ist linear. Beim Fall mit Newton’scher Reibung (z.B. Kugelfallviskosimeter)
dagegen wird ein Reibungsterm der Form −γv 2 angesetzt, so dass sich eine DGL
der Form
m ˙v = −mg − γv 2 .
9 In dieser Form ist das Koordinatensystem so gewählt, dass die positive z-Achse nach oben weist – daher
wird die Gravitationskraft mit einem Minuszeichen angegeben und die Geschwindigkeit nimmt für t → ∞
negative Werte an. Alternativ kann die z-Achse nach unten zählen. Dann entfällt das negative Vorzeichen vor
der Gewichtskraft und die Geschwindigkeit nimmt für t → ∞ positive Werte an.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007