Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

152 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.13:
Flächenelement
in Polarkoordinaten
§ 604 Betrachten wir nochmals die gleichförmige Kreisbewegung, jetzt jedoch ohne Rückzug
auf die kartesisch orientierte Darstellung ⃗r(t) = r(cos(ωt), sin(ωt) sondern gleich in der Darstellung
in Polarkoordinaten:
⃗r(t) = r(t) ⃗e r .
Für die Geschwindigkeit gilt unter Verwendung der Produktregel als allgemeiner Ausdruck
⃗v = ˙⃗r = ṙ⃗e r + r ˙ ⃗e r .
Da es sich um eine Kreisbewegung handelt, ist r(t) = const und damit ṙ = 0, also
⃗v K = r ˙ ⃗e r = rϕ⃗e ϕ = v ϕ ⃗e ϕ ,
d.h. die Geschwindigkeit ist, wie anschaulich zu erwarten, tangential zur Bahn. Die Beschleunigung
ist, wieder unter Verwendung der Produktregel, gegeben als
⃗a K = ˙⃗v K = ˙v ϕ ⃗e ϕ + v ϕ ˙ ⃗e ϕ .
Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, ist der Betrag der Geschwindigkeit
konstant und damit ˙v = 0. Also gilt für die Beschleunigung
⃗a K,g = v ϕ ˙ ⃗e ϕ = −v ϕ ˙ϕ ⃗e r ,
d.h. wie für eine Zentralkraft erwartet ist ⃗a K,g anti-parallel zu ⃗r.
Zwischenrechnung 17 Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für die Beschleunigung in Polarkoordinaten,
d.h. weder die Einschränkungen Kreisbewegung noch gleichförmige Bewegung
gelten. Verifizieren Sie, dass der Ausdruck die Spezialfälle gleichförmige Kreisbewegung und
gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung enthält.
Zylinderkoordinaten
§ 605 In Zylinderkoordinaten berechnen sich die Einheitsvektoren ⃗e r und ⃗e ϕ wie in Polarkoordinaten,
in der dritten Komponente bleibt der Einheitsvektor ⃗e z des kartesischen Koordinatensystems
erhalten. Aus den bereits im Zusammenhang mit den Polarkoordinaten
vorgestellten Rechenregeln ergibt sich für das Linienelement
d⃗r = dϱ ⃗e ϱ + ϱ dϕ ⃗e ϕ + dz ⃗e z .
Mit den darin enthaltenen Längenelementen ergibt sich wegen ⃗e ϱ ×⃗e ϕ = ⃗e z (alle drei Vektoren
stehen senkrecht aufeinander) für das Volumenelement
dV = [dϱ ⃗e ϱ ϱ dϕ ⃗e ϕ dz ⃗e z ] = ϱ dϱ dϕ dz [⃗e ϱ ⃗e ϕ ⃗e z ] = ϱ dϱ dϕ dz . (4.18)
Auch diesem Volumenelement werden wir bei der Integration noch häufiger begegnen.
§ 606 Die Helixbahn aus Abschn. 3.7.2 ist ein geeignetes Beispiel für die Anwendung von
Zylinderkoordinaten. Dabei bleibt der Einheitsvektor ⃗e z während der Bewegung unverändert,
die Einheitsvektoren ⃗e r und ⃗e ϕ dagegen ändern sich wie in § 604 diskutiert. Für die Geschwindigkeit
erhalten wir wegen ˙⃗e z =0 und ϱ=const
⃗v = ˙⃗r = d dt (ϱ ⃗e r + z ⃗e z ) = ˙ϱ ⃗e r + ϱ ˙⃗e r + ż ⃗e z + z ˙⃗e z
= ϱ ˙⃗e r + ż ⃗e z = ϱ ˙ϕ⃗e ϕ + v z ⃗e z = v ϕ ⃗e ϕ + v z ⃗e z .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode