Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

208 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Abbildung 6.3: Serienschwingkreis
aus Ohm’schem Widerstand
R, Kondensator mit
Kapazität C und Spule mit
Induktivität L
Aus den Gleichungen erkennt man, dass bei anliegender harmonischer Spannung u = U 0 e iωt
am Kondensator der Strom der Spannung um π/2 voraus eilt. An der Spule dagegen eilt der
Strom der Spannung um π/2 voraus. Das macht die Berechnung von Schaltungen schwierig
und hat Physiker und insbesondere Elektrotechniker Jahrzehntelang mit Zeigerdiagrammen
gequält. Mit komplexen Zahlen dagegen sind diese Rechnungen wesentlich übersichtlicher.
§ 808 Die einfachste Schaltung ist eine Reihenschaltung. Bei Verwendung von zwei Ohm’schen
Widerständen R 1 und R 2 beträgt der Gesamtwiderstand R g = R 1 +R 2 . Liegt eine Spannung
u an der Schaltung an, so fließt ein Strom i = u/R durch diese Widerstandskombination.
Welcher Strom fließt, wenn einer der Widerstände durch einen Kondensator ersetzt wird? Da
es sich um eine Reihenschaltung handelt, fließt durch beide Bauteile der gleiche Strom. Am
Widerstand ist dieser Strom mit der angelegten äußeren Spannung in Phase und erzeugt einen
Spannungsabfall u R = Ri. Am Kondensator sind Strom und Spannung gegen einander in der
Phase verschoben, der Zusammenhang wird mit Hilfe eines kapazitiven Blindwiderstands 6
X C = 1
iωC
beschrieben mit ω als der Kreisfrequenz der angelegten Wechselspannung. Dieser Widerstand
ist eine komplexe Größe, die Phasenverschiebung steckt in der imaginären Einheit i. Die bei
Strom i über dem Kondensator abfallende Spannung ist u C = X C i: es gilt das normale
Ohm’sche Gesetz, allerdings wird der reelle Ohm’sche Widerstand R durch den komplexen
Widerstand X C des Kondensators ersetzt. Die beiden Teilspannung müssen gleich der angelegten
Spannung sein:
(
u = u R + u C = Ri + X c i = i(R + X C ) = i R + 1 )
= iZ .
iωC
Darin ist Z der komplexe Ersatzwiderstand
Z = R + 1
iωC .
Der Betrag |Z| = √ R 2 + (ωC) −2 des komplexen Widerstands bestimmt den Zusammenhang
zwischen den Beträgen von Strom und Spannung, sein Argument ϕ = −acrtan(ωRC) −1 gibt
die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
Serienschwingkreis
§ 809 Diese Kombination aus zwei Bauteilen lässt sich mit Hilfe von Zeigerdiagrammen wenn
auch mühsam beschreiben. Bei einem Serienschwingkreis, siehe Abb. 6.3 dagegen wird es ohne
Verwendung komplexer Zahlen hoffnungslos. Betrachten wir auch hier den Ersatzwiderstand.
Als zusätzliche Information benötigen wir nur noch den induktiven Blindwiderstand 7 der
6 Zum Begriff Blindwiderstand: ein Kondensator lässt einen Wechselstrom durch. Allerdings ist dies keine
direkte Leitung der Ladungsträger sondern erfolgt über das veränderliche elektrische Feld im Kondensator
und damit sein Laden und Entladen. Die Spannung, auf die der Kondensator aufgeladen wird, wirkt als
Gegenspannung zur angelegten Spannung. Der mit dieser Gegenspannung verbundene Widerstand wird als
Blindwiderstand bezeichnet, da im Gegensatz zum Ohm’schen Widerstand keine elektrische Energie in Wärme
umgewandelt wird.
7 Jede von einem Wechselstrom durchflossene Spule hat einen induktiven Blindwiderstand X L . Dieser
entsteht durch die der anliegenden Spannung entgegen gesetzte Induktionsspannung – die Ursache des Widerstands
ist eine Gegenspannung und nicht, wie beim Ohm’schen Widerstand die Behinderung der Bewegung
der Ladungsträger. Daher wird an der Spule keine elektrische Leistung in Wärme umgewandelt, der Widerstand
wird als Blindwiderstand bezeichnet.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode