Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 321
Schreiben wir die Vektoren als Spalten einer Matrix, so erhalten wir für das Produkt aus
Matrix und Transponierter
⎛
⎝ 1/√ 2 1/ √ ⎞ ⎛
2 0
−1/ √ 2 1/ √ 2 0 ⎠ ⎝ 1/√ 2 −1/ √ ⎞ ⎛
2 0
1/ √ 2 1/ √ 2 0 ⎠ = ⎝ 1 0 0
⎞
0 1 0 ⎠ .
0 0 1 0 0 1 0 0 1
8.2.6 Inverse Matrix
§ 1197 Die Division durch eine Matrix ist nicht definiert, stattdessen ist die Umkehroperation
zu Multiplikation mit einer Matrix A die Multiplikation mit ihrem Inversen A −1 mit
AA −1 = A −1 A = E . (8.7)
Diese inverse Matrix hilft, ein Gleichungssystem zu lösen:
A −1 A⃗x = A −1 ⃗c ⇔ ⃗x = A −1 ⃗c .
§ 1198 Die inverse Matrix lässt sich über Ihre Definition (8.7) oder mit Hilfe der Adjunkten-
Matrix bestimmen. Ersteres ist nur für kleine Matrizen praktikabel, da sonst ein zu großes
Gleichungssystem entsteht. Zweiteres ist ein mehrstufiges Verfahren, da es die Entwicklung
nach Unterdeterminanten erfordert, deren Auswertung gegebenenfalls die Entwicklung nach
Unterdeterminanten und so fort.
§ 1199 Das Inverse der Matrix
( )
1 2
A =
2 1
lässt sich mit Hilfe der Definition A A −1 = E bestimmen:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 a1 a 2 a1 + 2a
=
3 a 2 + 2a 4 1 0
=
2 1 a 3 a 4 2a 1 + a 3 2a 2 + a 4 0 1
Damit erhalten wir vier (oder genauer zwei Paare von) Bestimmungsgleichungen
a 1 + 2a 3 = 1 , 2a 1 + a 3 = 0 , a 2 + 2a 4 = 0 und 2a 2 + a 4 = 1
für die unbekannten Matrixelemente. Auflösen der Gleichungen liefert die inverse Matrix
( )
A −1 −1/3 2/3
=
= 1 ( )
−1 2
.
2/3 −1/3 3 2 −1
Verständnisfrage 22 Ist es Zufall, dass die 2 × 2-Matrix zwei Paare von Gleichungen für
jeweils zwei Unbekannte geliefert hat oder hätten wir auch vier Gleichungen mit allen vier
Unbekannten erhalten können? Lässt sich das auf n × n-Matrizen übertragen?
§ 1200 Zur Bestimmung des Inversen einer 2 × 2 Matrix müssen wir nicht wie in § 1199
explizit über die Definition A A −1 = E gehen sondern können einen geschlossenen Ausdruck
angeben:
( )
a b
A =
c d
⇒ A −1 =
1
ad − bc
( )
d −b
.
−c a
Zwischenrechnung 46 Leiten Sie diesen Ausdruck her – oder falls Ihnen das nicht gelingt,
zeigen Sie zumindest, dass er gilt.
Zwischenrechnung 47 Können Sie auch für die Inverse einer 3 × 3-Matrix einen geschlossenen
Ausdruck herleiten?
Definition 79 Eine quadratische Matrix A besitzt eine inverse Matrix A −1 genau dann, wenn
die Determinante det A von Null verschieden ist, d.h. wenn die Matrix regulär ist. Die inverse
Matrix lässt sich mit Hilfe der Adjunkten-Matrix U bestimmen zu
A −1 = 1
det A UT .
.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007