Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

202 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
Abbildung 6.1: Darstellung komplexer
Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene.
Der Realteil wird auf der Abszisse,
der Imaginärteil auf der Ordinate
abgetragen
6.2.2 Darstellung in der komplexen Ebene
§ 780 Komplexe Zahlen sind geordnete Paare reeller Zahlen. Der erste Teil des Paares ist
der Real-, der zweite der Imaginärteil. Diese Verwandtschaft zu Vektoren zeigt sich auch in
der graphischen Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene, 3 siehe Abb. 6.1. Diese besteht
aus zwei reellen Zahlengraden, die auf einander senkrecht stehen. Auf der Abszisse wird der
Realteil abgetragen, auf der Ordinate der Imaginärteil. Die komplexe Zahl selbst wird durch
einen Zeiger z dargestellt.
§ 781 Die Interpretation der Gauß’schen Ebene in kartesischen Koordinaten erlaubt es, dem
Zeiger a + bi die Koordinaten (a, b) zu zuordnen. Diese Darstellung weist nochmals auf das
geordnete Zahlenpaar hin.
§ 782 Interpretieren wir Abb. 6.1 in Polarkoordinaten, so erhalten wir die trigonometrische
Darstellung komplexer Zahlen:
mit
z = a + ib = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
|z| = √ a 2 + b 2 und ϕ = argz = arctan b a . (6.4)
Darin ist |z| der Betrag der komplexen Zahl und ϕ = argz ihr Argument. Bei der Bestimmung
des Arguments ist Vorsicht geboten: üblicherweise ist arctan im Intervall [− π 2 , π 2 ] definiert,
argz dagegen kann Werte aus dem Intervall [0, 2π] annehmen. Daher sollte man sich bei der
Bestimmung des Arguments stets vorher überlegen, in welchem Quadranten z liegt.
§ 783 Die Darstellung in der komplexen Ebene veranschaulicht einen Unterschied zwischen
den komplexen Zahlen C und den bisher betrachteten Zahlensystemen: so lange wir die Zahlen
auf einem Zahlenstrahl darstellen konnten, waren sie geordnet. Die Zahlen ließen sich
vergleichen: zwei Zahlen a und b waren gleich, a = b, oder es galt a < b oder b < a, entsprechend
der geometrischen Anordnung. In der komplexen Ebene ist eine derartige Ordnung
nicht möglich; eine Ordnung nach dem Betrag der komplexen Zahl wäre zwar möglich, würde
aber eben nur den Betrag als den Abstand der Zahl vom Ursprung des Koordinatensystems
ordnen, nicht die Zahlen selbst. Gleichheit zweier komplexer Zahlen lässt sich aber dennoch
feststellen:
Definition 56 Zwei komplexe Zahlen z 1 = a 1 + ib 1 und z 2 = a 2 + ib 2 sind gleich, z 1 = z 2 ,
wenn die Real- und Imaginärteile gleich sind, d.h. a 1 = a 2 und b 1 = b 2 . Oder in kompakterer
Schreibweise
z 1 = z 2 ⇔ R(z 1 ) = R(z 2 ) ∧ I(z 1 ) = I(z 2 ) .
3 Gauß’sche Zahlenebene ist der im deutschsprachigen Raum übliche Begriff. Im englischen Sprachraum
wird häufig ‘Argand plane’ verwendet, korrekter wäre vielleicht sogar Wessel-Ebene: Caspar Wessel
veröffentlichte die geometrische Interpretation der komplexen Zahlen 1796, Jean-Robert Argand seine 1806.
Gauß dagegen veröffentlichte die geometrische Interpretation erst 1831.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode