Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

58 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Abbildung 2.5: Harmonische Reihe: zumindest
bis n = 10 10 lassen sich keine Anzeichen
für Konvergenz erkennen
• aus der geometrischen Folge lässt sich eine geometrische Reihe konstruieren. Diese Reihe
konvergiert für q < 1.
Während die Divergenz der natürlichen Reihe leicht einzusehen ist, ist Konvergenz oder
Divergenz für die anderen Reihen weniger offensichtlich.
Geometrische Reihe
§ 238 Für die geometrische Reihe lässt sich die Konvergenz auf einfache Weise zeigen. In
Anlehnung an das Cauchy Kriterium betrachten wir dazu nicht die unendliche Reihe sondern
nur Paare endlicher Partialsummen. Da diese jeweils endlich sind, können sie ohne Probleme
algebraisch manipuliert werden. Für q ≠ 1 gilt für die geometrische Reihe
s n =
n∑
q m ⇒ qs n = s n + q n+1 − 1 .
m=1
Umformen ergibt
s n − 1
1 − q = −qn+1
1 − q .
Wenn beide Seiten gleich sind, müssen auch ihre Beträge gleich sein:
∣ s n − 1
∣ ∣∣∣ 1 − q ∣ = −q n+1
1 − q ∣ . (2.4)
Für |q| < 1 wird die rechte Seite mit zunehmendem n immer kleiner, insbesondere auch
kleiner als jede vorgegebene positive Zahl. Also lässt sich für jedes ε > 0 ein n ε finden, so
dass für alle n > n ε gilt
∣ s n − 1
1 − q ∣ < ε .
Damit ist Definition 21 erfüllt, wir erhalten sogar den Grenzwert der geometrischen Reihe zu
∞∑
n=1
q n = 1
1 − q
∀ |q| < 1 .
§ 239 Für |q| > 1 dagegen wächst die rechte Seite von (2.4) beliebig an, so dass sich zu einem
gegebenen ε > 0 kein passendes n ε finden lässt. In diesem Fall ist eine formale Betrachtung
nicht erforderlich, da die geometrische Folge für |q| > 1 keine Nullfolge ist und daher die Reihe
divergent sein muss. Mit entsprechender Argumentation folgt auch, dass die geometrische
Reihe für |q| = 1 nicht konvergiert.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode