Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

C.2. ELEMENTARES DIFFERENZIEREN 527
Einsetzen in die Kettenregel liefert
d √ 1
2x2 + 4x + 9 =
dx
2(2x 2 + 4x + 9) 1 2
(4x + 4) =
2x + 2
√
2x2 + 4x + 9 .
✷
Beispiel 15 Innere Funktionen sind manchmal so einfach, dass sie übersehen werden.
Die Ableitung von e x ist wieder e x , da die Exponentialfunktion abgeleitet stets
wieder die Exponentialfunktion ergibt. Die Ableitung der Funktion
f(t) = e −t
ergibt auch wieder eine Exponentialfunktion. Jedoch ist in diesem Fall der Exponent
selbst eine Funktion u(t) = −t und die Exponentialfunktion ist eine äußere Funktion
e u . Die Ableitung der äußeren Funktion ergibt wieder e u , die der inneren bringt
zusätzlich einen Faktor u ′ (t) = −1, so dass wir als Endergebnis erhalten
f ′ (t) = d dt e−t = −e −t .
✷
§ 1876 Da die innere Funktion wie in obigem Beispiel manchmal eher unauffällig daher
kommt, ist es im Zweifelsfall sicherer, von der Existenz einer inneren Funktion auszugehen:
sie machen einen Fehler, wenn sie eine innere Funktion nicht als solche erkennen und
berücksichtigen. Sie machen jedoch keinen Fehler, wenn sie eine innere Funktion an einer
Stelle annehmen, an der es nicht nötig tut. Betrachten Sie dazu nochmals die Ableitung von
e x . Nehmen wir an, es würde sich um eine Exponentialfunktion mit innerer Funktion handeln,
d.h. um e u mit u = x. Als Ableitung der äußeren Funktion bleibt e u , die Ableitung
der inneren Funktion ergibt u ′ = 1, d.h. wir machen keinen Fehler, wenn wir diese innere
Ableitung an die äußere heran multiplizieren.
§ 1877 Daraus können Sie auch eine Regel herleiten, nach der sie auf die Existenz einer
inneren Funktion überprüfen können. Nehmen Sie an, dass die Funktion eine innere Funktion
enthält. Identifizieren Sie diese und Leiten sie sie ab. Wenn die Ableitung von Eins verschieden
ist, hat die Funktion in der Tat eine innere Funktion und sie hätten die Ableitung für die
Anwendung der Kettenregel ohnehin bestimmen müssen. Ist die Ableitung dagegen Eins, so
sind sie sich zumindest sicher, dass es ausreichend ist, die äußere Funktion abzuleiten.
Beispiel Produkt und Kettenregel kombiniert
Beispiel 16 Im Zusammenhang mit den Ableitungen elementarer Funktionen haben
wir bereits die Ableitung des Tangens vorgegeben. Hier wollen wir Sie uns aus den
Ableitungen der anderen elementaren Winkelfunktionen herleiten. Dazu benötigen
wir eine Kombination aus Produkt- und Kettenregel. Gemäß Definition des Tangens
ist dieser der Quotient aus Sinus und Kosinus:
tan(x) = sin(x)
cos(x) = sin(x) cos−1 (x) .
Um den Ausdruck abzuleiten, benötigen wir die Produktregel und die Kettenregel:
d
dx sin(x) cos−1 (x) = sin(x) (−1) cos −2 (x) (−1) sin(x) + cos(x) cos −1 (x) .
Dabei ist die Ableitung von cos −1 (x) etwas trickreich, da es sich bei diesem Ausdruck
um eine Potenz einer Winkelfunktion handelt. Die äußere Ableitung gibt daher
− cos −2 (x), die innere Ableitung bringt ein − sin(x). Räumen wir die obige Ableitung
etwas auf, so erhalten wir:
d
dx tan(x) = sin2 (x)
cos 2 (x) + 1 = tan2 (x) + 1 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007