Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

50 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
Abbildung 2.1: Graphische
Annäherung an den
Grenzwert der Reihe
1/(2 n ). Die Reihe konvergiert
gegen den Grenzwert
1, d.h. Zeno’s Pfeil trifft
doch – oder erst nach
unendlich langer Zeit?
Ziel nicht erreichen, da er eine unendlich große Zahl von Wegstückchen zurück legen muss.
Der zurück gelegte Weg lässt sich mit l = 1 als eine unendliche Reihe darstellen:
S = 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . = ∞ ∑
n=1
1
2 n .
Diese Reihe wird als geometrische Reihe bezeichnet.
§ 203 Da der Pfeil mit konstanter Geschwindigkeit v = 1 fliegt, gilt für die Flugzeit ebenfalls
T = 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . = ∞
∑
n=1
1
2 n .
Wenn Zeno’s Argument gilt, d.h. der Pfeil das Ziel nicht trifft, so muss die Flugzeit unendlich
werden. Da die T bestimmende Reihe eine unendliche Anzahl von Summanden enthält,
können wir nicht ausschließen, dass die Summe gegen Unendlich strebt. Andererseits werden
die einzelnen Summanden immer kleiner. Wir erhalten also eine Summe unendlich vieler immer
kleiner (unendlich klein?) werdender Terme: strebt diese gegen eine endliche Zahl oder
gegen Unendlich?
§ 204 Vergessen Sie Pfeil und Schildkröte, nehmen Sie die Buntstifte in die Hand und malen
ein Quadrat aus, wie in Abb. 2.1 gezeigt: die erste Hälfte in einer Farbe, die Hälfte des Rests
in einer anderen Farbe, und immer weiter. Die Summe der ausgemalten Flächenelemente ist
stets 1 minus des noch fehlenden Elements in der rechten oberen Ecke:
S N =
N∑
n=1
1
2 n = 1 − 1
2 N .
Der zweite Ausdruck ist endlich und gilt damit für alle natürlichen Zahlen N. Außerdem wird
der Rest 2 −N mit zunehmendem N immer kleiner. Insbesondere können wir N so wählen,
dass der Rest kleiner wird als eine beliebige, von uns vorgegebene reelle Zahl. Dann ist es
sinnvoll zu erlauben, dass N gegen Unendlich geht und anzunehmen, dass in diesem Grenzfall
der Rest 2 −N Null wird. Damit gilt
S =
∞∑
n=1
1
2 n = 1 ,
d.h. im Fall unendlich großen Ns konvergiert die Reihe gegen 1. Wegen T = S in § 203
erreicht der Pfeil nach T = 1 sein Ziel.
§ 205 Zeno’s Pfeil hat uns aus einer physikalischen Situation an die geometrische Reihe heran
geführt; die Newton–Raphson Methode wird uns von einem mathematischen Problem
an eine Reihe heran führen. Gesucht ist die Nullstelle f(x) = 0 der Funktion f(x). Zwar
haben wir eine grobe Vorstellung, wo die Nullstelle liegen muss; wir haben auf Grund der
Struktur der Funktion jedoch keine Möglichkeit, eine exakte Lösung zu finden. Eine einfache
Möglichkeit ist Intervallschachtelung: wir bestimmen Funktionswerte für Argumente größer
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode