Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.5. DGL ZWEITER ORDNUNG AM BEISPIEL DES FEDERPENDELS 249
Abbildung 7.6: Aperiodischer Grenzfall
für zwei unterschiedliche Anfangsbedingungen:
im Fall x 1 nähert sich die
Lösung direkt der Ruhelage an, in x 2
kommt es zu einem einmaligen Schwingen
durch diese hindurch
Aperiodischer Grenzfall
§ 947 Der aperiodische Grenzfall ergibt sich für γ 2 = ω 2 0 und liegt damit zwischen dem
Schwing- und dem Kriechfall. Physikalisch ist dieser Fall anschaulich insofern, als dass es
zwar nach einen Nulldurchgang der Schwingung geben kann (die Dämpfung ist schwächer als
im Kriechfall, bei dem es nicht zu einem Nulldurchgang kommt). Ein zweiter Nulldurchgang
dagegen ist nicht mehr möglich – dafür ist die Dämpfung bereits zu stark. Daher ist es
auch nicht möglich, die Periode der Schwingung zu bestimmen (oder überhaupt von einer
Schwingung zu reden).
§ 948 Mathematisch unterscheidet sich der aperiodische Grenzfall von Schwing- und Kriechfall
dadurch, dass es wegen γ = ω 0 nur einen Eigenwert λ 1 = −γ gibt. Damit ergibt sich eine
Lösung
x 1 (t) = ae −γt .
Diese eine Lösung ist jedoch nicht vollständig, insbesondere ist es nicht möglich, zwei allgemeine
Anfangsbedingungen darin zu berücksichtigen. Um eine zweite Lösung zu finden,
machen wir nochmals einen Exponentialansatz, jetzt jedoch mit der unabhängigen Variablen
als Vorfaktor:
x 2 (t) = t e −γt .
Die Gesamtlösung hat dann die Form
x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = (a + bt) e −γt .
§ 949 Um zu zeigen, dass dieser Ausdruck die DGL löst, müssen wir nur noch zeigen, dass
x 2 die DGL löst: das Superpositionsprinzip gewährleistet, dass die Summe zweier linear
unabhängiger Lösungen einer DGL wieder Lösung der DGL ist. Die Ableitungen von x 2 (t)
sind
ẋ 2 = (1 − γt) e −γt und ẍ 2 = (−2γ + γ 2 t) e −γt .
Einsetzen in die DGL liefert
(−2γ + γ 2 t) + 2γ(1 − γt) + ω 2 0t = (−γ 2 + ω 2 0)t = 0 ,
d.h. der Ansatz erfüllt wegen γ 2 = ω 2 0 die DGL.
§ 950 Beginnt die Schwingung mit der maximalen Auslenkung, d.h. x(0) = x max und v(0) =
0, so ergibt sich x max = a und wegen 0 = b − aγ auch b = γx max . Die Lösung wird damit
x(t) = x max (1 − γt)e −γt .
Der tatsächliche Kurvenverlauf hängt stark von den Anfangsbedingungen ab; es findet jedoch
in keinem Fall eine Schwingung sondern maximal ein Nulldurchgang statt, siehe Abb. 7.6.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007